игналу. Слід зазначити, що зазвичай кілька коефіцієнтів будуть ненульовими, що спрощує розрахунки.
На рис. 2.1 показані деякі масштабуючі функції і вейвлети. Найбільш відомим сімейством ортонормованих вейвлетов є сімейство Добеши. Його вейвлети зазвичай позначаються числом ненульових коефіцієнтів, таким чином, ми зазвичай говоримо про ВЕЙВЛЕТ Добеши 4, Добеши 6 (4 і 6 означає порядок вейвлета), і т.п. Грубо кажучи, зі збільшенням числа коефіцієнтів вейвлет функції стають більш гладкими. Інший зі згаданих вейвлетов - найпростіший вейвлет Хаара, який використовує прямокутний імпульс як масштабується функцію.
Функція масштабування Хаара і вейвлет (ліворуч) та їх частотні складові (праворуч)
Функція масштабування Добеши 4 і вейвлет (ліворуч) та їх частотні складові (праворуч)
Функція масштабування Добеши 20 і вейвлет (ліворуч) та їх частотні складові (справа). Рис. 2.1
Основною відмінністю вейвлет-перетворення є розкладання даних не по синусоїді (як для перетворення Фур'є), а по інших функцій, званим вейвлетобразующімі. Вейвлетобразующіе функції, на противагу нескінченно осцилюючим синусоїда, локалізовані в деякій обмеженій області свого аргументу, а далеко від неї дорівнюють нулю або мізерно малі. Приклад такої функції, званої «мексиканської капелюхом», показаний на рис. 2.2.
Рисунок 2.2 Порівняння синусоїди і вейвлетобразующей функції
2.2 Наближене рішення задач для рівнянь типу згортки
Для зад?? Ч, зводяться до рішення рівнянь типу згортки (крайових задач для рівнянь математичної фізики, екстремальних задач), добре розроблена техніка перетворень Фур'є (безперервних, дискретних, швидких перетворень Фур'є). Аналіз Фур'є, зважений аналіз Фур'є і вейвлет-аналіз тісно пов'язані між собою, що дозволяє переносити відомі результати для рівнянь типу згортки, отримані за допомогою перетворень Фур'є, на мову вейвлет-аналізу та отримувати ефективні алгоритми на основі швидкого вейвлет-перетворення. Алгоритми рішення одного рівняння можуть використовуватися для вирішення іншого близького йому рівняння. Така схема застосовна не тільки до завдань відновлення, а й до задачі розпізнавання, прогнозування (виведення за аналогією) та інших місій, якщо встановлена ??відповідна аналогія. Нехай вихідне інтегральне рівняння типу згортки має вигляд, а близьке до нього. З оператором
(2.1)
де ядро ??права частина - рішення інтегрального рівняння. Рішення та близькі залежно від близькості операторів і, а також оцінки похибки. У модельних (близьких) рівняннях насамперед враховуються особливості вихідного рівняння, характер некоректності і т.п. Структура таких рівнянь вибирається більш простий, що дозволяє отримати точне рішення і добре пристосованої для розробки ефективних стійких алгоритмів. Ця схема переноситься на широкий клас задач, зокрема, на екстремальні задачі для рівнянь типу згортки, екстремальні задачі для рівнянь в приватних похідних (для аналітичних функцій).
Нехай і - відповідно пряме і зворотне перетворення Фур'є і вейвлет-перетворення. .
,
,. Застосовуючи вейвлет-перетворення
у вигляді до рівняння (2.1), за умови
, отримаємо.
Для близького рівняння,
, тоді, а рішення вихідного рівняння (2.1), при забез...
