Y існує прінаймні одна елемент x з множини X такий, что f (x)=y. (рис.2.8 (б) та 2.8 (в)).
Відображення назівають бієктівнім, чі бієкцією, если воно одночасно ін єктівнe та сюр єктівнe. Відображення f є бієктівнім, если КОЖЕН елемент Із Y є чином при відображенні f Деяк, и при тому єдиного, елемента з X (рис.2.8 (в)). Кажуть, що бієктівне відображення встановлює взаємно однозначно відповідність между множини X та Y. Бієкція множини на собі назівається такоже перестановки чі перетворенням.
Малюнок 2.8 - Властивості відображення
Для скінченних множини Х та Y сюр єктівнiсть відображення f: X? Y означає, що | Х |? | Y |. Например; f: {1, 2, 3, 4}? {y1, y2, y3}, f=- сюр єктівне, af=- НЕ сюр єктівнe.
Если Х и Y скінченні, то ін єктівність відображення означає, що | Х |? | Y |.
например, нехай Х={l, 2, 3}, Y={y1, y2, y3, y4}. Если f (1)=y1, f (2)=y2, f (3)=y3, то f: X? Y ін єктівнe.
При скінченних X та Y бієктівнiсть відображення f: X? Y означає, что | X |=| Y |.
например, X=(1, 2, 3), Y={y1, y2, y3}, відображення f=- бієктівне.
2.6.4 Композиція відображень
Нехай задано дві відображення: f: X? Y та g: Y? Z. Тоді композіцією відображень f и g (позначаємо символом g? F) будемо назіваті відображення з множини X в множини Z, визначене вирази g? f (x)=g (f (x)) для всіх елементів x з множини X. прийнятя правило, согласно з Яким у композіції g? f треба почінаті з відображення f, розташованого праворуч.
например, нехай маємо множини Х={l, 2, 3, 4}, Y={а, b, c}, Z={u, v} та дві відображення
: Х? Y,, g: Y? Z,
Тоді композиція завданні відображень g? f: Х? Z,
Композиція відображень асоціатівна, тобто если маємо трьох відображення f: X? Y, g: Y? Z, h: Z? U, то (h? G)? f=h? (g? f)=h? g? f.
Відображення g: Y? X назівається оберненім до відображення f: X? Y, если віконуються Такі умови f - 1? f=IX (IX - тотожнє відображення на множіні X), f? f - 1=IY (IY - тотожнє відображення на множіні Y).
Для відображення f існує обернене відображення f - 1 тоді и только тоді, коли відображення f бієктівне. Обернене відображення f - 1 такоже є бієктівнім.
Если f: X? Y - бієкція ї g: Y? Z - бієкція, то g? f - бієкція з Х в Z, а ее оберніть бієкція дорівнює f - 1? g - 1.
например, нехай задані множини Х={l, 2, 3}, Y={а, b, c} та відображення f: Х? Y,. Це відображення є бієктівнім, и того до него існує обернене f - 1: Y? X,. Дійсно, f - 1? f== IX та f? f - 1== IY.
2.7 Функції
Визначення. Функцією назівається таке відношення, Ніякі дві різніх елементи которого НЕ мают однаково Першів координат. Тобто є функцією тоді й только тоді, коли вона задовольняє Наступний умів:
елементами є упорядковані парі;
если упорядковані парі і - елементи Функції, то.
Отже, відношення на назівається функцією з в и позначається як.
Если функція І, то говорять, що.
Визначення. Множини назівається області визначення Функції и позначається, а множини - область потенційніх значень. Если, то множини назівається чином множини. Образ усієї множини назівається області значень Функції и позначається.
Приклад. Які Із представлених відношень є функціямі:
а); б);
в); г).
розв язання:
а) відношення НЕ є функцією, тому что дві елєменти и мают однаково Першу координату;
б) відношення є функцією, тому что перший елемент кожної впорядкованої парі зустрічається Рівно один раз;
в) відношення є функцією, графіком якої буде парабола;
г) відношення НЕ є функцією, тому что его елементами є, например, І, І.
Приклад. Знайте область визначення и область значень Функції:
а);
б).
розв язання:
а) область визначення Функції, а область значень -;
б) область визначення -, а область значень -.
Визначення. Функція назівається ін єктівною, або ін'єкцією, если з прямує (рис. 2.9, а). Функція назівається відображенням на raquo ;, сюр єктівною функцією, або сюр єкцією, если для шкірного існує деяке таке, что (рис. 2.9, б). Функція, что є одночасно и ін єктівною и сюр...
