значення статистики, а біля його вибіркового аналога. По-друге, покладається бутстрепіровать асимптотично півотальние статистики.
Розглянемо кілька варіантів бутстраповскіх статистик, використовуваних для побудови довірчих інтервалів і підкреслимо їх позитивні і негативні якості. Нехай нас цікавить побудова статистичних висновків щодо параметра з її оцінки.
Ефроновскій довірчий інтервал . В даному випадку бутстрепіруемой статистикою є сама оцінка, тобто. Таким чином, ми отримуємо бутстреповское розподіл. Відповідні квантилі розподілу -, а довірчий інтервал -
. (2.4.1)
Ефроновскій довірчий інтервал був популярний, коли бутстреповскій підхід тільки починав використовуватися. Насправді, цей довірчий інтервал дає непогану апроксимацію для справжніх рівнів значимості, оскільки зберігає зсув вихідної вибірки.
холлівських довірчий інтервал . Хол запропонував використовувати для побудови довірчого інтервалу рецентрірованную статистику, що знімає проблему зсуву, пов'язаного з кінцівкою вибірки. Таким чином, виходить бутстреповское розподіл. Відповідні квантилі -, а довірчий інтервал -
. (2.4.2)
холлівських довірчий інтервал дає кращу, ніж Ефроновскій. апроксимацію рівнів значимості. Плюсом використання холлівських довірчого інтервалу є відсутність необхідності оцінювання стандартних помилок.
t-відсотковий довірчий інтервал . Такий інтервал використовує як бутстрепіруемой статистики t-статистику, т.е .. Таким чином, знаходять бутстреповское розподіл статистики та відповідні квантилі, а сам t-відсотковий довірчий інтервал будують як
. (2.4.3)
t-відсотковий довірчий інтервал ще краще апроксимує справжні рівні значущості, ніж холлівських довірчий інтервал. Але використовувати його рекомендується тільки якщо стандартні помилки можна побудувати якісно.
Симетричний t-відсотковий довірчий інтервал . Такий інтервал використовує як бутстрепіруемой симметризовавший t-статистику raquo ;. Розподіл бутстреповской статистики є, а правий кванітіль -. Симетричний t-відсотковий довірчий інтервал є
. (2.4.4)
Симетричний t-відсотковий довірчий інтервал має в певних випадках перевагу перед t-процентним довірчим інтервалом. А саме, якщо асимптотическое розподіл статистики симетрично (якраз як у випадку асимптотичної нормальності), то дає кращу апроксимацію рівнів значимості. [1], [2]
.5 Довірчі інтервали, засновані на модифікованому Бутстреп
Основна ідея методу бутстрепа базується на тому факті, що емпіричне розподіл Fп зближується з істинним розподілом Fо. Звідси можна зробити висновок, що розподіл оцінок, отриманих за спостереженнями, що мають розподіл Fп, близько до розподілу оцінок за спостереженнями з розподілом Fо. З іншого боку, довірчі інтервали мають наступну властивість: кінці інтервалу відповідають досить сильно різняться між собою розподілів. Іншими словами, вірогідність отримати вибірку з «що сильно розрізняються» спостереженнями дорівнює?, Тобто одиниця мінус рівень довіри.
Наша основна ідея полягає в побудові двох розподілів Fn + і Fn - таких, що ймовірність отримати спостережувану оцінку дорівнює?. Ми також вимагатимемо, щоб ці два розподіли були побудовані по спостережуваній вибірці. Крім цих обмежень, ми вимагатимемо ще, щоб ці розподілу були близькі до емпіричного розподілу. Іншими словами, ми хочемо змінити функцію емпіричного розподілу, але не більше, ніж це необхідно. Довірчі інтервали будуть визначатися? -значенню, Відповідними Fn - і Fn +.
Поява залежних спостережень впливає на імовірнісні властивості емпіричного розподілу. Ми будемо вимірювати цей вплив, використовуючи наступне лінійне вираз, який поводиться як псевдо-значення
(2.5.1)
Якщо? визначено для вибірки розміру n - 1, то останній вираз може бути замінене звичайним псевдо-значенням з теорії статистик методу складного ножа.
Розподілу Fn - і Fn + вибираються у вигляді, де з вибрано так, щоб ймовірності «хвостів» були б у точності рівні? і 1? (знак означає пропорційність лівої і правої частин,).
Якщо? линейна по zi, то ці розподіли мають найбільшу ентропію серед усіх розподілів з такими ж «хвостовими» вероятностями. Апроксимація довірчого інтервалу для? (F) може тепер бути побудована у вигляді інтервалу.
Легко здійснити повторну вибірку з розподілів Fn + і Fn - тим же самим способом, що і повторний вибір в звичайному Бутстреп. Візьмемо N незалежних бутстреп вибірок з простим випадковим вибором з поверненням з спостережуваної вибірки. Для кожної бутстреп вибірки обчислимо відповідні оцінки, i=1, 2, ..., n.
Для фіксованого значення з «хвостові» ймові...
