рності відповідних розподілів можуть бути легко оцінені виразом
. (2.5.2)
Використовуючи інтерполяцію, легко отримати значення з, що дають коректні «хвостові» ймовірності для а=(тобто? і 1?). Раз визначені два значення з, то відповідні їм значення дають бутстреп інтервал і.
2.6 Тестування гіпотез за допомогою бутстрепа
Однією з основних цілей бутстрепа є тестування гіпотез. Розглянемо, як за допомогою бутстрепа тестуються найпростіші статистичні гіпотези. Нехай нульова гіпотеза має вигляд, де - скаляр.
Альтернативна гіпотеза одностороння :. Бутстреп t-відсоткову статистику
(2.6.1)
і отримуємо бутстреповское розподіл цієї статистики і відповідний квантиль:
(2.6.2)
Гіпотеза H0 відкидається, якщо.
Альтернативна гіпотеза двостороння :. У цьому випадку ми Бутстреп симетричну t-відсоткову статистику
. (2.6.3)
Отримуємо бутстреповское розподіл і квантиль:
. (2.6.4)
Гіпотеза H0 відкидається, якщо.
Нехай нульова гіпотеза має вигляд, де - вектор. У цьому випадку ми бутстраіім Вальдовскую статистику (з точністю до коефіцієнта пропорційності)
.
Відповідно, отримуємо бутстреповское розподіл і квантиль:
(2.6.5)
Гіпотеза H0 відкидається, якщо.
Нехай тепер нульова гіпотеза має вигляд лінійних обмежень на коефіцієнти, де R - матриця обмежень. У цьому випадку ми знову Бутстреп Вальдовскую статистику (з точністю до коефіцієнта пропорційності)
.
Отримуємо бутстреповское розподіл, з якого знаходимо відповідний квантиль:
. (2.6.6)
Зауважимо, що ми рецентріруем бутстреповскую статистику. Без цього бутстреповское розподіл успадкувало б зсув, властиве первісної статистиці. Гіпотеза H0 відкидається, якщо.
2.7 Асимптотичне рафінування
Іноді кажуть, що за допомогою бутстрепа досягається асимптотическое рафінування. У цій главі ми обговоримо, що таке асимптотическое рафінування і в яких випадках воно має місце.
Нехай у нас є деяка статистика. дійсний розподіл якої. Позначимо бутстреповское розподіл цієї статистики через. Кажуть, що за допомогою бутстрепа досягається асимптотическое рафінування, якщо помилка апроксимації істинного розподілу бутстреповскім - більшого порядку малості, ніж помилка апроксимації асимптотическим розподілом при прагненні обсягу вибірки до нескінченності.
Наведемо приклади, що використовують розкладання Еджворта функції розподілу статистики навколо граничного розподілу.
1. асимптотично півотальіая t-статистика . Нехай бутстрепіруемая нами статистика є
.
Її асимптотическое розподіл, як ми вже бачили, є стандартним нормальним: (тобто статистика асимптотично півотальная). Позначимо точний розподіл статистики через а бутстреповское - через. Для кумулятивної функції стандартного нормального розподілу використовуємо звичайне позначення.
Отже, розкладемо істинне і бутстраповское розподілу навколо асимптотичного:
(2.7.1)
Тут # 151; парна по х. безперервна по F функція, - непарна по х, безперервна але F функція. Помилки апроксимації точного розподілу асимптотическим і бутстреповскім, відповідно, дорівнюють
(2.7.2)
Тут ми скористалися тим фактом, що різниця має асимптотику оскільки
.
Таким чином, в даному прикладі використання бутстрепа призводить до асимптотичного рафінуванню.
2. асимптотично непівотальіая статистика . Розглянемо статистику
Зберігши позначення кумулятивних функцій розподілу для точного розподілу і бутстреповского з попереднього пункту, позначимо асимптотическое розподіл через. Зауважимо, що тепер наша статистика асимптотично непівотальна, тобто її ассімтотіческое розподіл залежить від невідомого параметра, в даному випадку. Як у попередньому прикладі, розкладемо точне і бутстреповское розподілу навколо асимптотичного:
,
. (2.7.3)
Помилки апроксимації для асимптотичного і бутстреповского розподілів вважаються аналогічно до попереднього прикладу:
,
. (2.7.4)
Як видно, в цьому випадку використання бутстрепа не приводить до асимптотичного рафінуванню. Взагалі, як правило, бутстрепірованіе асимптотично непівотальних статистик не дає асимптотичного рафінування.
3. асимптотично півотальная симетрична t-статнстнка . Тепер розглянемо як пр...
