€ n ( t ) = 0, то в силу (1.24) ми отримали б H ( П€ ( t ), < i> x ( t ), u ( t )) = 0, що суперечить рівності (1.25). Таким чином, ми отримуємо наступну теорему, яка носить назву принципу максимуму.
Т е про р м а 1.2. Припустимо, що для розглянутого керованого об'єкта, описуваного рівнянням ( у векторній формі )
(A)
і запропонованого кінцевого стану x 1 виконані гіпотези 1, 2 і 3. Нехай ( u ( t ), x ( t )), t 0 ≤ t ≤ t 1 , в”Ђ певний процес, що переводить об'єкт з початкового стану x 0 в стан x < sub> 1 . Введемо в розгляд функцію H, залежну від змінних x 1 ( t ), ..., x n ( t ) , u 1 , ..., u r і деяких допоміжних змінних П€ 1 ( t ), ..., П€ n ( t ) (див. (1.24)):
(B)
За допомогою цієї функції H запишемо наступну систему диференціальних рівнянь для допоміжних змінних:
(C)
де ( u ( t ), x ( t )) в”Ђ розглянутий процес (див. (1.28)). Тоді, якщо процес ( u ( t ), x ( t )) , t 0 ≤ t < t 1 , є оптимальним , то існує таке нетривіальне рішення П€ ( t ) = ( П€ 1 ( t ), ..., П€ n ( t )) , t 0 ≤ t < t 1 , системи (C) , що для будь-якого моменту t, t 0 ≤ t < t 1 , виконана умова максимуму
(D)
(див. (1.27)) і умова (1.25) H ( П€ ( t ), x ( t ), u ( t )) = 1.
Проте в наведеної тут формі принцип максимуму страждає одним недоліком: він виведений в припущення діфференцируємості (і навіть дворазовою) функції П‰ ( x ), а ця функція насправді не є (в звичайно зустрічаються випадках) усюди дифференцируемой.
Через припущення про виконання сформульованих гіпотез (про функції П‰ ( x )) принцип максимуму в тому вигляді, в якому він сформульований вище, не є зручним умовою оптимальності. За формою він виведений як необхідна умова оптимальності: якщо процес оптимальний, то виконано співвідношення (1.16 * ) і відповідно (D), тобто виконання цієї умови необхідно для оптимальності. Однак ця умова виведено лише в припущенні виконання гіпотез 1, 2, 3, а їх виконан...
