мана, басейни Ньютона і біоморфи.
Трикутник Серпінського
Для його побудови з центру трикутника подумки виріжемо шматок трикутної форми, який своїми вершинами буде впиратися в середини сторін вихідного трикутника. Повторимо цю ж процедуру для трьох утворилися трикутників (за винятком центрального) і так до нескінченності. Тепер якщо взяти будь з утворених трикутників і збільшити його - вийде точна копія цілого. У даному випадку ми маємо справу з повним самоподібності.
Драконова ламана.
Драконова ламана відноситься до класу самоподібних рекурсивно породжуваних геометричних структур. Ламана нульового порядку являє собою просто прямий кут. Зображення фігури кожного наступного порядку будується шляхом рекурсивних замін кожного з відрізків фігури молодшого порядку на два відрізки, складених також у вигляді прямого кута.
При цьому кожний перший кут виявляється вивернутим назовні, а кожен другий - всередину. Незважаючи на зовнішню простоту, побудова драконовою ламаної - захоплююча алгоритмічна задачка, вирішення якої може зажадати певних розумових зусиль. На малюнку проілюстрований алгоритм побудови драконовою ламаної і зображений цілком дорослий дракон десятого порядку.
Басейни Ньютона.
Басейни Ньютона, фрактали Ньютона - різновид алгебраїчних фракталів. Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів нелінійного рівняння алгоритмом Ньютона на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, в даному випадку, узагальнюється для комплексної площині). Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля функції комплексного змінного, використовуючи процедуру: Zn + 1=Zn - f (Zn)/f (Zn). Вибір початкового наближення Z0 представляє особливий інтерес. Оскільки функція може мати кілька нулів, в різних випадках метод може збігатись до різних значень. Однак, що за області забезпечать збіжність до того чи іншого кореню? Через те, що Ньютон застосовував свій метод виключно до поліномами, фрактали, утворені в результаті такого застосування, знайшли назву фракталів Ньютона або басейнів Ньютона.
Біоморфи.
Біоморфи будуються найпростішим алгоритмом багаторазового зведення в квадрат комплексного числа. Кожному комплексному числу відповідає точка на площині. Тому кожен раз при зведенні в квадрат виходять нові комплексні числа, а відповідно і нові точки. Далі можливі три варіанти: комплексне число різко зростає, різко зменшується і третій - числа починає групуватися навколо деякої області (перші два варіанти не цікаві, оскільки рано чи пізно ми перестанемо спостерігати зображення). Кліффорд Пікоувер першим помітив схожість цих угруповань з мікроорганізмами і дав їм згадане вище назва. Приклад побудови біоморфа, у зазначеній нижче програмою, отриманий за допомогою ітераційних обчислень за формулою: Zn + 1=Z9n + C. Зовнішній вигляд біоморфа залежить від дійсної та уявної складової комплексного числа.
3.1 Опис інтерфейсу програми
Інтерфейс програми (Мал. 1) являє собою вікно, що містить вкладки перемикання фракталів, опис кожного фрактала, і панель побудови.
Рис.1 Стартове вікно програми
Перемикання між фракталами здійснюється натисканням на відповідні вкладки (Мал. 2)
Рис.2 Вибір фрактала
Опис фрактала розташовується в правій частині вікна програми. В опис входять короткі відомості про фрактале, а також розказаний хід побудови (Мал. 3)
Рис.3 Опис фрактала «Трикутник Серпінського»
Панель побудови являє собою секцію виконуючих і керуючих елементів (Мал. 4)
Панель побудови фракталів «Трикутник Серпінського» і «Драконова ламана» Панель побудови фрактала «Басейни Ньютона» Панель побудови фрактала «біоморфами» Рис.4 Панелі побудови
Розглянемо докладніше процес управління побудовою фрактала «Трикутник Серпінського».
Рис.5 ТреугольнікСерпінского
Рівень - це глибина побудови фрактала. Побудова фрактала певного рівня здійснюється натисканням кнопки «Намалювати». Також управляти побудовою фрактала можна за допомогою кнопок «Наступний» і «Попередній», які здійснюють побудова фрактала наступного і попереднього рівня відповідно.
Побудова фрактала «Драконова ламана» здійснюється аналогічно трикутнику «Серпінського», але для наочності при побудові драконовою ламаної червоним кольором показана ламана попереднього рівня. (Мал. 6)
...
