иклад симетричну t-статистику
.
Зберігаючи позначення попередніх прикладів, розкладемо точне і бутстреповское розподілу:
,
. (2.7.5)
Таким чином, помилки апроксимації для асимптотики і бутстрепа мають порядки
,
. (2.7.6)
Таким чином, ми отримуємо асимптотическое рафінування. Зауважимо, що бутстрепірованіе симетричного двостороннього тесту має помилку більш високого порядку, ніж бутстрепірованіе одностороннього тесту.
2.8 Швидкість збіжності для залежного бутстрепа середнього
Роботи про заможність бутстреп-оцінок залучають останнім часом велика увага як з теоретичної, так і з прикладної точки зору через зростаючої потреби у цій процедурі. Важливо відзначити, що експоненціальні нерівності відіграють велику роль у доказі асимптотичної значущості бутстрепа середнього.
Почнемо з невеликого обговорення попередніх результатів, де розглядається послідовність незалежних однаково розподілених (н.о.р.) випадкових величин і класичний (незалежний) бутстреп середнього. Нехай є послідовність н.о.р. випадкових величин, визначених на вероятностном просторі. Для і нехай означає емпіричну міру і нехай - н.о.р. випадкові величини з законом розподілу, де - послідовність натуральних чисел. Іншими словами, випадкові величини отримані випадковим відбором з поверненням з п випадкових величин. Для кожного випадковий вектор називається бутстреп вибіркою Ефрона [24] з обсягу m (n). Нехай - вибіркове середнє.
Коли розподіл X невирождени і ЕХ2 lt ;, Бікел та Фрідман [19] показали, що для майже всіх вірна наступна центральна гранична теорема:
. (2.8.1)
Тут і далі=DX. Відзначимо, що по теоремі Гливенко-Кантеллі наближається до Y (X) для майже всіх із зростанням п і за класичною центральної граничній теоремі Леві
(2.8.2)
Звідси випливає, що для майже всіх бутстреп статистика
близька по розподілу до
, (2.8.3)
коли п досить велике. У цьому полягає основна ідея бутстрепа, і ми відсилаємо до основної роботі Ефрона [24], де ця цікава ідея виражена явно і підтверджена серією важливих прикладів.
Посилені закони великих чисел для бутстрепа середнього були доведені Атрейю і Чёргё. Аренал-Гутіеррес, Матрай і Куеста-Албертос проаналізували результати, потім, враховуючи різні швидкості росту обсягу повторної вибірки т (п), вони привели нові, більш прості докази цих результатів. Вони також навели приклади, що показують, що обсяги повторних вибірок, необхідні для затвердження збіжності майже напевно (п.н.), є практично оптимальними.
Інша публікація - це робота Мікоша [25]. Він встановив ряд корисних експоненційних нерівностей, які є важливим інструментом для доказу спроможності бутстрепа середнього. Грунтуючись на цих експоненційних неравенствах, Лі, Росальскій і Ахмед довели повну збіжність в дусі Баума-Каца, Ердеша, Сюя-Роббінса і Спітцера для бутстрепа середнього і наявність моментів Супремум нормованих бутстреп-сум. Важливо відзначити, що не накладаються умови на маргінальні або спільні розподілу випадкових величин, з яких витягується бутстреп-перевиборка.
Поняття процедури залежного бутстрепа було введено Смітом і Тейлором, де також встановлені деякі важливі властивості такого бутстрепа. Основною метою є розширення та узагальнення результатів Лі, Росальского і Ахмеда про посилену законі великих чисел на випадок процедури залежного бутстрепа. Основними інструментами є розширення та узагальнення результатів Мікоша [25] і Сміта і Тейлора [12].
1. Залежний бутстреп. Результати цього пункту представляють собою зміну, узагальнення й розширення результатів Сміта і Тейлора на випадок залежного бутстрепа з послідовності не обов'язково н.о.р. випадкових величин. Відзначимо, що Сміт і Тейлор розглядали тільки випадок н.о.р.
Нехай - послідовність випадкових величин (не обов'язково незалежних і однаково розподілених), які визначені на вероятностном просторі. Нехай і - дві послідовності таких натуральних чисел, що для всіх.
Для і залежний бутпстреп визначається як вибірка обсягу т (п), витягнута без повернення з набору ПK (п) значень, отриманих як k (п) копій вибіркових спостережень. Ця процедура залежного бутстрепа призначена для зменшення розкиду оцінок і, отже, для отримання кращих довірчих інтервалів. У статті [26], де доведений цей факт і наведені результати моделювання довірчих інтервалів з метою вивчення можливих виграшів у ймовірності накриття та довжині інтервалів.
Приводимое нижче пропозицію 1 дає спільний розподіл випадкових величин, отриманих із залежного бутстрепа. Нам потрібні наступні позначення.
...
