> n, n- 1 x + c. n
Система (3.27) являє собою розрахункові формули методу простої ітерації Якобі . p> Збіжність методу простої ітерації. Відомо наступне достатню умова збіжності методу простої ітерації Якобі.
Якщо елементи матриці A задовольняють умові:
| a ii |>, I = 1, 2, ..., n . (3.28)
то итерационная послідовність x k сходиться до точного рішенням x * .
Умова (3.28) називають умовою переважання діагональних елементів матриці A , так як воно означає, що модуль діагонального елемента i- го рядка більше суми модулів решти елементів цього рядка, i = 1, 2, ..., n .
Необхідно пам'ятати, що умова збіжності (3.28) є лише достатнім. Його виконання гарантує збіжність методу простих ітерацій, але його невиконання, взагалі кажучи, не означає, що метод розходиться.
Справедлива наступна апостериорная оцінка похибки:
max | x - x | ВЈ max | x- x |, i = 1, 2, ..., n, (3.29)
де b = max | b ij | i, j = 1, 2, ..., n.
Праву частину оцінки (3.29) легко обчислити після знаходження чергового наближення.
Критерій закінчення. Якщо потрібно знайти рішення з точністю e , то в силу (3.29) ітераційний процес слід закінчити як тільки на ( k + 1)-му кроці виконається нерівність:
max | x- x | < e , i = 1, 2, ..., < i> n. (3.30)
Тому в Як критерій закінчення ітераційного процесу можна використовувати нерівність
max | x- x | < e 1 , i = 1, 2, ..., n. (3.31)
де e 1 = e .
Якщо виконується умова b ВЈ, то можна користуватися більш простим критерієм закінчення:
max | x- x | < e , i = 1, 2, ..., N . (3.32)
В інших випадках використання критерію (3.32) неправомірно і може призвести до передчасного закінчення ітераційного процесу.
В
Приклад 3 .5.
Застосуємо метод простої ітерації Якобі для рішення системи рівнянь
20.9x 1 + 1.2 x 2 + 2.1 x 3 + 0.9 x 4 = 21.70
1.2x 1 + 21.2 x 2 + 1.5 x 3 + 2.5 x 4 = 27.46
2.1x 1 + 1.5 x 2 + 19.8 x 3 + 1.3 x 4 = 28.76 (3.33)
0.9x 1 + 2.5 x 2 + 1.3 x 3 + 32.1 x 4 = 49.72
Зауважимо, що метод простої ітерації сходиться, т. к. виконується умова переважання діагональних елементів (3.28):
| 20.9 |> | 1.2 + 2.1 + 0.9 |,
| 21.2 |> | 1.2 | + | 1.5 | + | 2.5 |,
| 19.8 |> | 2.1 | + | 1.5 | + | 1.3 |,
| 32.1 |> | 0.9 | + | 2.5 | + | 1.3 |. br/>
Нехай необхідна точність e = 10 -3 . Обчислення будемо проводити з чотирма знаками після десяткового дробу.
Наведемо систему до вигляду (3.25):
x 1 = - 0.0574 x 2 - 0.1005 x 3 - 0.0431 x 4 + 1.0383
x 2 = - 0.0566 x 1 - 0.0708 x 3 - 0.1179 x 4 + 1.2953
x 3 = - 0.1061 x 1 - 0.0758 x 2 - 0.0657 x 4 + 1.4525 (3.34)
x 4 = - 0.0280 x 1 - 0.0779 x 2 - 0.0405 x 3 + 1.5489
Величина b = max | b ij | , i, j = 1, 2, 3,4 дорівнює 0.1179, тобто виконується умова b ВЈ, і можна користуватися критерієм закінчення ітераційного процесу (3.32).
В якості початкового наближення візьмемо елементи шпальти вільних членів:
x = 1.0383 , x = 1.2953 , x = 1.4525, x = 1.5489 . (3.35)
Обчислення будемо вести доти, поки всі ...
