Для, і дійсного числа х покладемо, де - індикаторна функція. Отже, випадкова величина підраховує число спостережень, менших або рівних x.
Для кінцевої послідовності дійсних чисел позначимо її незростаюча перестановку, тобто і для будь-якого знайдеться таке , що.
Пропозиція 1. Нехай, і - послідовність дійсних чисел.
) Якщо для всіх, то
. (2.8.4)
2) Якщо хоча б для одного, то ця ймовірність дорівнює нулю.
Доказ. Нехай - така перестановка чисел 1, ..., m (n), що для. Тоді
,
якщо для всіх.
Друга частина пропозиції очевидна.
Природно, випадкові величини, отримані залежним Бутстреп, є залежними. Вони володіють так званим властивістю негативною залежності - це буде показано в реченні 2. Поняття негативною залежності було введено Леманом наступним чином.
Випадкові величини негативно залежні, якщо для будь-якого виконуються нерівності
,
, (2.8.5)
які б не були послідовності дійсних чисел.
Пропозиція 2. Для і випадкові величини, отримані залежним Бутстреп, є негативно залежними і перестановочность.
Доказ. Доведемо тільки перша нерівність у визначенні негативною залежності, бо друга нерівність доводиться аналогічним чином.
Нехай - послідовність дійсних чисел. Представляє інтерес тільки випадок, коли для всіх. В силу пропозиції 1
Властивість перестановочность безпосередньо випливає з пропозиції 1.
2. Кілька технічних лем . У цьому пункті ми наводимо кілька технічних результатів, використовуваних при доказі основних результатів статті. Деякі з лем являють собою розширення та узагальнення відомих раніше результатів. Для того щоб стаття була самодостатня, ми намічаємо їх докази.
Для простоти під ln-функцією в цьому пункті ми маємо на увазі функцію натурального логарифма. Результати можуть бути легко узагальнені на інші логарифмічні функції з основою, великим одиниці.
Перша лема добре відома і тривіальна. Тому ми опускаємо доказ.
Лемма 1. Нехай - послідовність негативно залежних випадкових величин.
) Якщо - послідовність вимірних, монотонно зростаючих (або відбувають) дійсних функцій, тобто послідовність негативно залежних випадкових величин.
) Для всіх справедливо нерівність якщо ці математичні очікування кінцеві.
На жаль, функція, обернена до функції, t gt; 0,, не виписується в явному вигляді. Але наступна лема дає хорошу «апроксимацію» зворотної функції.
Лемма 2. Нехай і, t e,. Тоді
. (2.8.6)
Доказ. Відзначимо, що
і
для te, що може бути встановлено дифференцированием.
Основна ідея леми 2 полягає в тому, що для позитивної випадкової величини Y умови і рівносильні.
Лемма 3 . Нехай, t gt; 0, - позитивна, суворо зростаюча функція, яка задовольнить умові, коли. Покладемо,. Нехай, більше того, - послідовність однаково розподілених випадкових величин. Якщо
(2.8.7)
і, де - зворотна функція до, то
п.н. (2.8.8)
У наступній лемі також важливо відзначити відсутність умови незалежності.
Лемма 4. Нехай - така послідовність однаково розподілених випадкових величин, що
для деякого. Тоді
п.н.
Доказ. Для того щоб застосувати лему 3, покладемо,,, і (тоді). Якщо,
t е, то, і по лемі 2 з умови і будуть еквівалентні. Відзначимо, що
.
Останнє, що ми повинні встановити, це співвідношення.
Маємо:
.
Так як послідовність строго зростає, то остання сума не перевершує
.
У силу леми 3
п.н.
Лемма 4 доведена.
Дві наступні леми мають справу зі збіжністю максимумів випадкових величин. Знову-таки, чи не накладаються умови незалежності.
Лемма 5. Нехай - послідовність позитивних випадкових величин - така неубутна послідовність позитивних чисел, що. Тоді умови п.н. і п.н. рівносильні.
Доказ. Нехай п.н. Для будь-якого справедливі наступні нерівності:
.
Так як послідовність не убуває, то останній вираз не перевищує
,
де спершу, а потім. Зворотне твердження очевидно.
Лемма 6. Нехай, t 0, - строго зростаюча функція і - така неубутна послідовність позитивних чисел, що, п 1, де С не залежить від п. Нехай, більше того, - така послідовність позитивних однаково розподілених випадкових величин, що при кожному. Тоді
...
