u>
Це додаткова інформація про властивості передбачуваних взаємно простих числах , яка надалі нам дуже знадобиться.
*******
Тепер спробуємо висловити суму четвертих ступенів чисел c і. Враховуючи співвідношення (6) і (7), отримаємо:
,
тобто (11),
де - цілі числа , які, у свою чергу, як ми знаємо з попереднього докази В«Твердження 1В» (для), можуть бути виражені через інші цілі числа таким чином:
(12) - непарне число при - непарному ;
(13) - непарне число при - непарному ;
(14) - непарне число при - непарному ;
(15) - парне число .
Примітка: у всіх наступних дослідженнях (Випадках) нас не цікавитимуть t = 0 і r = 0 (при t = 0 і - парні з (12) і (13), при r = 0 = 0 (з (15)) = > а = 0 (з (3)), що суперечить нашому допущенню). .
*******
Для простоти знову позначимо праві частини рівнянь (12), ..., (15) буквами С, В, N, К, т.е .
= З
= В
= N
= К,
і розглянемо з Випадок , коли в правих частинах рівнянь (12), ..., (15) перед С, В, N, К, стоять В«ПлюсиВ» і виконується условіе1.
********
условіе1 (початок)
з 2 = З
b 2 = B
= N
В
Випадок В«+В».
(12 +) - непарне число при - непарному ;
(13 +) - непарне число при - непарному ;
(14 +) - непарне число при - непарному ;
(15 +) - парне число .
Здавалося б, все нормально: парність чисел в (12 +), ..., (15 +) збігаються при - непарному з нашими попередніми міркуваннями. p> Однак не все так просто . p> Крім усього іншого, у нас є ще дві додаткові інформації (9) і (10) (про парність , укладеної в В«ВисновкуВ» ( стор.36 )), що випливають з припущення про тому, що, всупереч умові В«Твердження 2В» , допустимо , існують попарно взаємно прості цілі числа.
Спробуємо знайти суму, скориставшись їх виразами (12 +) і (13 +):
, br/>
тобто => () пропорційно 4, звідки слід, враховуючи (9) в В«ВисновкуВ» (стор.36),
! br/>
Т.е ., всупереч В«ВисновкуВ», є не непарних, а парним числом , що можливо (з (14)) при - парному . p> Однак, якщо - парне, то (у (12 +) і (13 +)) є парними , тобто в рівняннях (2) і (1) числа - Парні , а тому НЕ є попарно взаємно простими цілими числами.
Ми прийшли до протиріччя в Випадку В«+В» з нашим припущенням про існування у рівняння (1) попарно взаємно простих цілих рішень. br/>
********
Висновок. Отже, це рівняння (1) в даному Умови 1 (початок) не має рішень в цілих попарно взаємно простих відмінних від нуля числах, де - парне натуральне число.
********
Ми розглянули випадок, коли перед дужками в (12 +), ..., (15 +) стояли В«плюсиВ».
Випадок, коли перед тими ж дужками стоять В«мінусиВ» (Випадок В«-В» ) , аналогічний вищерозглянутого. Висновок Того ж . (Дивись Випадок В«-В» на стор.8.) p>
********
Примітка
Залишилося розглянути ще 14 випадків , коли перед С, В, N, К стоять всілякі знаки (Плюси і мінуси). Але про це - в 2-ої частини даного Твердження 2 . br/>
********
Т.к. рівняння (11) симетрично для з 2 і b 2 , (для рівняння (11) вони рівнозначні), то з 2 і b 2 можуть мінятися своїми виразами ( C і В) . Це властивість назвемо В«новим властивістю В». Тому аналогічні вищерозглянутого і випадки (В« НовіВ» випадки В«+В» і В«-В») , коли знову перед тими ж В, С, N і К стоять однакові знаки. br/>
Умова 2 (початок)
з 2 = В
b 2 = З ...
