еліпсоїд
В
(Зображено на малюнку 3) У перетині площиною z = 0 еліпс:
В
Називаний горловим. Однопорожнинний гіперболоїд володіє наступним чудовою властивістю. p align="justify"> Визначення 3. Назвемо прямолінійною твірною поверхні пряму, цілком у ній міститься. Як правило, це поняття не застосовується до распадающимся поверхнях. br/>В
Рис. 3 однопорожнинний гіперболоїд
Доказ. Зазначені властивості аффінниє, тому досить довести теорему для гіперболоїда:
2 + y 2 -z 2 = 1.
x 2 - z 2 < span align = "justify"> = 1 - y 2 ,
(x-z) (x + z) = (1-y) (1 + z)
Звідси відразу бачимо два сімейства прямолінійних створюючих:
В
Де? і? - Довільні дійсні числа, що не звертаються в нуль одночасно. p> Тоді:
В
Так що пари площин у перетині дійсно дають пряму.
Нехай точка (x 0 , y 0 , z 0 ) належить Гіперболоїд. Тоді, взявши для I ? = x 0 < span align = "justify"> + y 0 і ? = 1 + y 0 , а для II < span align = "justify"> -? = x 0 + z0 і ? = 1 - y 0 , отримаємо прямі, проходять через дану точку. Оскільки одне з чисел 1 - y 0 або 1 + y 0 відмінно від 0, то пара ( ?,?) визначена по точці ( x 0 , y 0 , z 0 ) однозначно (з точністю до множника) для кожного сімейства.
Отже, через кожну точку проходить рівно одна пряма кожного сімейства.
Покажемо, що інших утворюють немає. ...
