Припустимо, що утворює паралельна площині z = 0, тобто міститься в площині z = z 0 . Тоді вона повинна містяться в окружності x 2 + y 2 = 1 + z ВІ 0 що неможливо. Отже, всяка утворює перетинає z = 0, а значить, і горловий еліпс (коло). У силу обертальної симетрії достатньо дослідити одну його точку, наприклад, (1, 0, 0). Хай через неї проходить утворює з деяким напрямних вектором ( ?,?,? ):
= 1 + ? t
y = ? t
z = ? t
так що рівняння (результат підстановки в рівняння гіперболоїда)
(? 2 +? < span align = "justify"> 2 -? 2 ) t 2 +2 ? t = 0
Повинно мати рішенням будь t, звідки
В
Значить, спрямовує вектор (з точністю до ненульового множника) дорівнює (0,1, В± 1), тобто є дві можливості, а ми їх вже знайшли - це пряма першого сімейства і пряма другого. Отже, інших утворюють немає. p align="justify"> З аналогічного міркування отримуємо, що прямі одного сімейства не можуть перетинатися. Нехай вони паралельні одному вектору (?,?,? ). Значить, він паралельний кожної з чотирьох площин, що фігурують у записі двох прямих сімейства. Тоді він є ненульовим рішенням системи чотирьох лінійних рівнянь з матрицею:
В
Аналогічно у зворотній ситуації. Значить, можна вважати, що ? =? '= 1,? і ? ' - ненульові. Тоді для умови rk <3 необходімо8
=
що в даній ситуації можливо тільки якщо ? =? ' і прямі збігаються. Отже, дві прямі одного сімейства схрещуються.
Сімейства не перетинаються, так як відображення (x, y, z)? (-X,-y,-z) переводить прямі одного сімейства в прямі іншого, паралельні своїм прообразів. Дійсно, якби пряма належала обом домами, то її образ - так само, і тим самим, ми мали дві паралельні прямі з одного сімейства....
