назівають сумісною, ЯКЩО немає розвязків - несумісною.
Теорема. Если система лінійніх рівнянь має два Різні розвязки, то вона має безліч розвязків.
Означення. Если система лінійніх рівнянь має позбав один розвязок, то ее назівають визначеня, ЯКЩО ж безліч розвязків - невизначенності.
2. Рівносільні системи лінійніх рівнянь. Елементарні Перетворення
систем лінійніх рівнянь Розглянемо поряд Із системою рівнянь (2) систему:
Означення. Если КОЖЕН розвязок системи (2) є розвязка системи (3), то систему (3) назівають наслідком системи (2). (2) (3).
Означення. Если множини розвязків систем рівнянь (2), (3) співпадають, то ЦІ системи назівають рівносільнімі. (2) (3).
Означення. Елементарна перетвореності системи лінійніх рівнянь назівають:
) заміну місцямі (транспозіцію) двох рівнянь системи;
) множення Деяк рівняння системи на відмінне від нуля число;
) додавання до одного рівняння системи Іншого рівняння, помножене на Деяк число.
Теорема. При будь-якому Елементарна перетворенні система лінійніх рівнянь переходити у рівносільну їй систему.
3. Розв язування систем лінійніх рівнянь методом послідовного віключення невідоміх (метод Гауса)
Розглянемо систему лінійніх рівнянь (2) i нехай и тоді будь-який вектор є розвязка системи. Если ВСІ, альо, то система несумісна.
Розглянемо випадок, коли среди Коефіцієнтів є відмінні від нуля. Чи не порушуючі загальності будемо вважаті, что (ЯКЩО а, Наприклад, то, переставивши місцямі перше и Третє рівняння и зробім заміну одержимо систему, в якій відмінний від нуля коефіцієнт Стоїть на місці). До іншого рівняння системи додамо перше рівняння, помножене на; до третього - перше, помножене на, и так далі. Одержимо систему:
Система (4) одержані Із системи (2) путем Елементарна перетвореності, тому (4) (2). Чи не порушуючі загальності будемо вважаті, що. Віходячі з іншого рівняння системи (4), позбуваємось невідомого у третини, ...,-му рівняннях и т. д. Врешті решт прійдемо до системи:
де
Если, то система (2) Сумісна. Оскількі,, то з-го рівняння системи (5) можна віразіті через; з-го рівняння - через а тоді через и так далі. Прійдемо до системи:
(6) - загальний розвязок системи (2), Невідомі - Вільні Невідомі.
Если, то система (2) має єдиний розвязок (є визначеня); ЯКЩО, то система (2) має безліч розвязків (є невизначенності).
Если в Системі (5) среди чисел є відмінні від нуля, то система (2) несумісна.
Системи рівнянь можна розв'язувати методом Жордана-Гауса. ВІН відрізняється від методу Гауса тім, что Невідоме віключають НЕ позбав з рівнянь, а й з-го рівнянь.
Нехай нужно найти ранг системи векторів. Рівність
будемо розглядаті як систему лінійніх рівнянь, записання у векторній ФОРМІ. Нехай
- ее загальний розвязок, тоді ранг системи можна Сказати, что ранг системи векторів дорівнює різніці кількості векторів и кількості вільніх невідоміх у відповідній Системі лінійніх рівнянь.
4. Ранг матріці
Нехай
,
де - Деяка матриця, - система векторів-рядків матріці А, де
;
;
а - система векторів-стовпців, де
.
...
