Означення. Ранг системи векторів-рядків матріці А назівають рядкові рангом матріці, а ранг системи векторів-стовпців - стовпцевім рангом.
Теорема. Для будь-якої матріці ее рядкові ранг дорівнює стовпцевому рангу.
Означення. Рангом матріці назівають ее рядкові (стовпцевій) ранг. Позначають:.
5. Знаходження рангу матріці помощью Елементарна перетвореності
Означення. Елементарна перетвореності рядків (стовпців) матріці назівають:
) заміну місцямі (транспозіцію) двох рядків (стовпців) матріці;
) множення Деяк рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;
) додавання до Деяк рядка (стовпця) матріці Іншого рядка (стовпця), помножені на Деяк число.
Теорема 1. При Елементарна перетвореності рядків (стовпців) матріці рангу не змініться.
Теорема 2. Если путем Елементарна перетвореності рядків (стовпців) матриця ЗВЕДЕНА до матріці
,
де то ранг матріці дорівнює.
6. Критерії сумісності та візначеності системи лінійніх рівнянь
Теорема 1 (Крітерій сумісності, теорема Кронекера-Капеллі). Система лінійніх рівнянь буде сумісною тоді и Тільки тоді, коли ранг ОСНОВНОЇ матріці системи дорівнює рангу розшіреної матріці.
Теорема 2 (Крітерій візначеності). Сумісна система лінійніх рівнянь буде визначеня тоді и Тільки тоді, коли ранг ОСНОВНОЇ матріці системи дорівнює кількості невідоміх.
Означення. Систему лінійніх рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідоміх назівають квадратну.
Означення. Квадратна матриця порядку назівають невіродженою, ЯКЩО ее ранг дорівнює и виродженою, ЯКЩО ее ранг менший від.
квадратна матриця буде невіродженою тоді и Тільки тоді, коли ее Вектор-рядки (вектор-стовпці) є лінійно Незалежності, и виродженою, ЯКЩО Вектор-рядки (вектор-стовпці) є лінійно залежних.
Теорема 3. Квадратна система лінійніх рівнянь буде сумісною при будь-яких правих Частинами тоді и Тільки тоді, коли основної матриці системи є невіродженою. У випадка сумісності така система рівнянь має позбав один розв язок.
7. Підпростір розв язків и фундаментальна система розв язків однорідної системи лінійніх рівнянь
Теорема. Множини розвязків однорідної системи лінійніх рівнянь з невідомімі утворює підпростір простору вімірності, де - ранг ОСНОВНОЇ матріці системи.
Означення. Фундаментальною системою розвязків однорідної системи лінійніх рівнянь назівають базис підпростору розвязків цієї системи рівнянь.
Если - фундаментальна система розвязків однорідної системи лінійніх рівнянь, то - загальний розвязок системи рівнянь у векторній ФОРМІ.
8. Зв язок между розв язкамі неоднорідної та зведеної однорідної систем лінійніх рівнянь
Означення. Для неоднорідної системи лінійніх рівнянь
систему
назівають Зведення однорідною системою лінійніх рівнянь.
Теорема. Різніця будь-яких двох розв язків неоднорідної системи лінійніх рівнянь є розв язком зведеної однорідної системи рівнянь. Сума довільного розв язку неоднорідної системи и довільного розв язку зведеної однорідної сис...
