п.н.
Доказ. Для будь-якого
.
За лемі Бореля-Кантеллі п.н. Тепер для завершення докази досить застосувати твердження леми 5.
Наступне експоненціальне нерівність є основним інструментом, використовуваним при доказі закону великих чисел для залежного бутстрепа середнього. Воно є аналогом експоненціального нерівності Мікоша на випадок залежного бутстрепа.
Нам потрібно додати ще дві позначення до позначень з п. 2. Нехай - послідовність (не обов'язково незалежних або однаково розподілених) випадкових величин. Для і покладемо
, (2.8.9)
, (2.8.10)
.
Лемма 7. Нехай u - дві послідовності позитивних чисел. Тоді для і таких, що, і будь-яких gt; 0 виконується наступна нерівність:
.
.
Доказ. По нерівності Маркова
.
Оцінимо тільки середню в першому доданку в правій частині, точно така ж оцінка має місце і для середнього в другому доданку.
Почнемо з того, що в силу пропозиції 2 випадкові величини,, отримані процедурою залежного бутстрепа, є негативно залежними і перестановочность. Отже, за п. 1) леми 1 випадкові величини
негативно залежні і однаково розподілені. Тому
по п. 2) леми 1. В силу однакової розподіленості це вираз дорівнює
.
Таким чином,
(2.8.11)
3. Швидкість повної збіжності для залежного бутстрепа середнього. За допомогою отриманих результатів можна вивести закон великих чисел для залежного бутстрепа середнього.
Теорема. Нехай - послідовність (не обов'язково незалежних або однаково розподілених) випадкових величин і - послідовність позитивних чисел. Якщо
п.н., (i)
п.н., (ii)
то для всіх дійсних чисел r, будь-якого gt; 0 і майже всіх і
. (2.8.12)
Перш ніж доводити цю теорему, зробимо ряд зауважень.
Зауваження.
. Результат теореми буде тим сильнішим, чим більше значення r. На противагу теоремам Баума-Кана, Ердеша, Сюя-Роббінса і Спітцера про повну збіжності, значення r не грає ніякої ролі в умовах теореми і може бути взято довільно великим.
2. При r=0 по лемі Бореля-Кантеллі і результату теореми можна стверджувати, що для майже всіх
п.н.
. В силу леми 5, якщо монотонно, то умова (i) теореми еквівалентно слабшому і значно більш простому умові
п.н.
. Ретельний аналіз доведення теореми показує, що умови (i) і (ii) можуть бути злегка ослаблені:
п.н., (i ')
п.н., (ii ')
Ігноруючи той факт, що умови (i ) і (ii ) очевидно слабкіше, ніж умови (i) і (ii), слід зауважити, що вони більш громіздкі і їх складніше перевірити.
Доказ теореми. Твердження теореми очевидно для r lt;- 1, так що припустимо, що. У позначеннях леми 7 нехай
.
Легко перевірити, що умови (i) і (ii) тягнуть.
Для фіксованого, gt; 0 і покладемо
,.
Так як, то можна стверджувати, що
,.
Нехай n буде настільки великим, що
і.
З леми 7 випливає, що
,
так як, звідки випливає твердження теореми.
Слідство . Нехай - послідовність однаково розподілених (не обов'язково незалежних) випадкових величин і. Якщо
,
то для будь r, будь-якого gt; 0 і майже всехш
. (2.8.13)
Доказ. Покладемо
і,.
Потрібно перевірити, що виконуються умови (i) і (ii).
Для умови (i) позначимо
і,.
У силу леми 2 маємо, де величина С не залежить від n. Тепер умова (i) випливає з леми 6.
Умова (ii) безпосередньо випливає з леми 4. Слід зазначити, що твердження леми 4 залишається справедливим навіть при більш слабкому моментном умови.
. Застосування методу бутстреп
Постановка завдання . Порівняємо оцінку середньої інтенсивності відмов технічної системи класичним методом, Бутстреп і методом складного ножа. Нехай час безвідмовної роботи технічної системи підкоряється закону Вейбулла з параметрами S=??0,5; 1; 2. Для моделювання ймовірностей безвідмовної роботи скористаємося генератором псевдовипадкових чисел в інтервалі (0; 1). Число експериментів - 100. Кількість спостережень параметра напрацювання на відмову - 5; 10; 100. Використовуване програмне забезпечення - excel, matlab. <...
