ему алгебраїчних різницевих рівнянь:
=[] +, (36) в якій =; =
Диференціальне рівняння для осі симетрії (i=0) апроксимуємо аналогічно:
? k, (37)
або, беручи до уваги рівність=Т1, остаточно отримаємо:
? k (38)
У формулах (36) і (38) температураТ * є якась середня температура на інтервалі часу ??:
Т *=(1?) + ?, (39) де?- Коефіцієнт ваги, що враховує внесок температури на (m + 1) - часовому шарі в значення температури Т *.
При цьому значенні? =0 призводить до рівності Т * =, і ми маємо так звану явну різницеву схему. Значення? =1 дає Т * =, і отримуємо чисто неявну різницеву схему. При? =0,5 різницева схема (36) і (38) називається різницевої схемою Кранка-Ніколсона. Значення температури в (m + 1) -й момент часу на зовнішньому кордоні тіла при граничних умовах I роду:
; (40)
Для визначення при граничних умовах II і III роду застосуємо метод контрольного об'єму (метод теплового балансу) для прикордонного шару завтовшки граничні умови II роду:
а) граничні умови II роду:
(41)
б) граничні умови III роду:
(42)
У формулах (41) і (42) температура Т * розраховується за висловом 39.
Явна різницева схема для розрахунку температури використовує значення температури в попередній m -й момент часу у вузлах (i - 1), i і (i + 1), т.е. ,,. У цьому випадку у формули (36), (38), (41) і (42) замість температури Т * необхідно підставити температуру.
Висловлюючи з різницевих рівнянь (36), (38), (41) і (42) невідому температуру, отримуємо:
а) внутрішня межа i=0:
. (43)
б) внутрішні вузли i=1,2, ..., N - 1:
(44)
де;.
в) зовнішня межа, i=N:
граничні умови II роду:
, (45)
де.
граничні умови III роду:
. (46)
У формулах (43) - (46): k - коефіцієнт форми тіла;- Різницевий критерій Фур'є;- Різницевий критерій Біо.
Явна різницева схема стійка, якщо
при граничних умовах I і II роду, (47)
при граничних умовах III роду. (48)
У цьому випадку, неявних різницевих схем, за відсутності внутрішнього джерела теплоти (, різницеві рівняння (36), (38), (41) і (42) приймають такий вигляд:
а) внутрішня межа i=0:
? k. (49)
б) внутрішні вузли i=1,2, ..., N - 1:
{[]}. (50)
в) зовнішня межа i=N:
граничні умови II роду:
, (51
граничні умови III роду:
. (52)
Систему алгебраїчних різницевих рівнянь (49) - (52) зручно представити у вигляді:
- +, для i=0, 1, ..., N. (53)
Вирази для коефіцієнтів,, і вільного члена в системі (53), виходять методами контрольного об'єму і різницевої апроксимації.
Система різницевих рівнянь (53) являє собою систему (N + 1) лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих i=0,1, ..., N з трехдіагональной матрицею коефіцієнтів перед невідомими. Для вирішення такої системи рівнянь застосовують ефективний метод прогонки.
Суть методу прогону полягає в тому, що рішення системи різницевих рівнянь представляють у вигляді:
i=0,1, ..., N, (54)
де деякі допоміжні коефіцієнти, звані коефіцієнтами прогонки.
На кожному кроці за часом завдання визначення температури зводиться спочатку до розрахунку по рекурентним формулами (пряма прогонка):
=; =, (55)
а потім до визначення температурного поля за формулою (54) (зворотна прогонка)
Для порядку розрахунку температурного поля оправки на малюнку 13 представлена ??блок-схема.
Малюнок 13 - Блок-схема розрахунку температурного поля оправки
. 2.2 Програмне рішення задачі
Для вирішення поставленого завдання застосовується комп'ютерна програма дозволяє автоматизувати процес розрахунків. Це необхідно, оскільки її рішення пов'язане з великим числом розрахунків. Програма створена на мові Delphi. Вона дозволяє проводити розрахунки згідно з описаною вище методикою. Швидкість розрахунків безпосередньо залежить від точності, що справедливо для будь-яких ітераційних розрахунків, чим вище точність, тим більше часу потрібно. В даному випадку достатньо округляти значення температури до 5-10 о С.
