відео керівництвом на Youtube, присвячені вивченню Mathcad і чисельним методам.
Глава I. Теоретичні основи системи Mathcad
§1. Загальні відомості про системи Mathcad
Особливу відзнаку Mathcad від інших програм цього ж класу в тому що в ньому присутня загальнодоступні і всім звичні загальноприйняті математичні формули. Так само вона містить сотні операторів і велику кількість вбудованих корисних функцій. Mathcad обчислює як чисельні так і символьні обчислення, виробляє роботу з скалярами, матрицями, векторами і т.д.
Можливості Mathcad:
· Пошук коренів многочленів і функцій.
· Обчислення з одиницями виміру.
· Створення та виконання програм користувача.
· Виконання операцій з векторами і матрицями.
· Виконання обчислень в символьному режимі.
· Символьний розв'язок систем рівнянь.
· Побудова двовимірних і тривимірних графіків функцій.
· Рішення диференціальних рівнянь чисельними методами.
· Апроксимація кривих.
Mathcad спочатку замислювався як засіб «програмування без програмування», але, якщо потреба програмування все ж виникає. Є прості інструменти програмування, які дозволяють будувати складні алгоритми.
§2. Вікно програми Mathcad і панелі інструментів
Головне меню Mathcad у верхній частині вікна призначене для управління всіма процесами програми, і дозволяє виконати всі вхідні в програму команди і функції.
Math (Математика) - вставка математичних операторів і символів
Панель Математика містить 9 кнопок, з панелями другого рівня:
· Символьні операції - оператори символьних обчислень.
· Грецькі літери.
· Калькулятор - вставка шаблонів математичних операцій, цифр, знаків.
· Булеві оператори - вставка логічних операторів.
· Програмування - оператори, необхідні для створення програм.
· Обчислення - вставка шаблонів обчислювальних операторів диференціювання, інтегрування, підсумовування, твори, меж і градієнта.
· Обчислення - Введення операторів обчислення похідних, інтегралів, сум, творів і меж
· Матриця - вставка шаблонів матриць та операцій з ними.
· Графік - вставка шаблонів і обробка графіків.
§3. Методи обчислення
Обчислення алгебраїчних функцій.
де Pn (x) - многочлен n-го ступеня, a0, a1, ..., an - дійсні коефіцієнти.
Кількість? є коренем многочлена Pn (x) тоді і тільки тоді, коли Pn (x) ділиться без залишку на (х -?) до (, але вже не ділиться на (х -?) до + 1, то? називається k - кратним коренем многочлена Pn (x). коріння кратності к=1 називаються простими корінням многочлена. Всякий чи многочлен має коріння? Відповідь дає теорема.
Теорема. Всякий многочлен з будь-якими числовими коефіцієнтами, ступінь якого не менше одиниці, має хоча б один корінь, у загальному випадку комплексний.
З цієї теореми випливає дуже важливий наслідок, всякий многочлен Pn (x) ступеня n (n gt; 1) з будь-якими числовими коефіцієнтами має рівно n коренів, дійсних або комплексних, якщо кожен з коренів вважати стільки разів, яка його кратність.
Таким чином, коріння алгебраїчного рівняння можуть бути як дійсні, так і комплексні. Комплексні коріння алгебраїчного рівняння мають властивість парної спряженості, тобто якщо рівняння має комплексний корінь? =? + I? (де? і? - дійсні числа) кратності k, то воно має і комплексний корінь також кратності k. Модулі цих коренів однакові. Якщо рівняння має комплексні корені, то число їх парне. Тому всяке рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами, має принаймні, один дійсний корінь.
Метод половинного ділення.
Нехай дано рівняння f (x)=0, причому функція f (x) неперервна на відрізку
[a, b] і f (a) f (b) lt; 0.
Для обчислення кореня рівняння f (x)=0, що належить відрізку [a, b], знайдемо середину цього відрізка Якщо то для продовження обчислення виберемо ту з частин даного відрізка або на кінцях якої функція f (x) має протилежні знаки. Кінці нового відрізка позначимо через і.
Новий звужений проміжок знову ділимо навпіл і проводимо обчислення по розібраної схемою. В результаті отримуємо або точний корінь рівняння f (x)=0 на якомусь етапі, або послідовність вкладених відрізків
... ....
