матричної гри досить задати матрицю А=(a ij) порядку т п виграшів першого гравця. [2]
Якщо розглянути матрицю виграшів
(1.1)
то проведення кожної партії матричної гри з матрицею А зводиться до вибору першим гравцем i-го рядка, а другим гравцем j-го стовпця і одержання першим гравцем (за рахунок другого) виграшу, що знаходиться в матриці А на перетині i-го рядка і j-го стовпця.
Для формалізації реальної конфліктної ситуації у вигляді матричної гри треба виділити і перенумерувати чисті стратегії кожного гравця і скласти матрицю виграшів.
Наступний етап - це визначення оптимальних стратегій і виграшів гравців.
Головним у дослідженні ігор є поняття оптимальних стратегій гравців. У це поняття інтуїтивно вкладається такий зміст: стратегія гравця є оптимальною, якщо застосування цієї стратегії забезпечує йому найбільший гарантований виграш при всіляких стратегіях іншого гравця. Виходячи з цих позицій, перший гравець досліджує матрицю А своїх виграшів за формулою (1.1) таким чином: для кожного значення i (i=1, 2, ..., т) визначається мінімальне значення виграшу в залежності від застосовуваних стратегій другого гравця
(i=1, 2, ..., m) (1.2)
т. е. визначається мінімальний виграш для першого гравця за умови, що він застосує свою i - ю чисту стратегію, потім з цих мінімальних виграшів відшукується така стратегія i=i 0, при якій цей мінімальний виграш буде максимальним, т. е. знаходиться
==?. (1.3)
Визначення. Число? , Визначене за формулою (1.3), називається нижньою чистої ціною гри і показує, який мінімальний виграш може гарантувати собі перший гравець, застосовуючи свої чисті стратегії при всіляких діях другого гравця. [2]
Другий гравець при оптимальному своїй поведінці повинен прагнути по можливості за рахунок своїх стратегій максимально зменшити виграш першого гравця. Тому для другого гравця відшукується
(1.4)
т. е. визначається максимальний виграш першого гравця, за умови, що другий гравець застосує свою j-ю чисту стратегію, потім другий гравець відшукує таку свою j=j 1 стратегію, при якій перший гравець отримає мінімальний виграш, т. е. знаходить
==?. (1. 5)
Визначення. Число? , Визначене за формулою (1.5), називається чистим верхньою ціною гри і показує, який максимальний виграш за рахунок своїх стратегій може собі гарантувати перший гравець. Іншими словами, застосовуючи свої чисті стратегії перший гравець може забезпечити собі виграш не менше? , А другий гравець за рахунок застосування своїх чистих стратегій може не допускати виграш першого гравця більше, ніж?.
Визначення. Якщо в грі з матрицею А нижня і верхня чисті ціни гри збігаються, т. Е.? =? , То кажуть, що ця гра має сідлову точку в чистих стратегіях і чисту ціну гри:
? =? =? (1.6)
Сідлова точка - це пара чистих стратегій () відповідно першого і другого гравців, при яких досягається рівність
? =? (1.7)
У поняття седловой точки вкладений наступний сенс: якщо один з гравців дотримується стратегії, відповідної сідловій точці, то інший гравець не зможе вчинити краще, ніж дотримуватися стратегії, відповідної сідловій точці. Маючи на увазі, що краще поведінка гравця не повинно призводити до зменшення його виграшу, а найгірше - може призводити до зменшення його виграшу, ці умови можна записати математично у вигляді наступних співвідношень:
(1.8)
де i, j - будь чисті стратегії відповідно першого і другого гравців; (i 0, j 0) - стратегії, що утворюють сідлову точку. Нижче буде показана еквівалентність визначення седловой точки умовам (1.8). [2]
Таким чином, виходячи з (1.8), седловой елемент є мінімальним в i 0 -му рядку і максимальним в j 0 -м стовпці в матриці А. Відшукування седловой точки матриці А відбувається легко: в матриці А послідовно в кожному рядку знаходять мінімальний елемент і перевіряють, чи є цей елемент максимальним у своєму стовпці. Якщо він є таким, то він і є седловой елемент, а пара стратегій, відповідна йому, утворює седловую точку. Пара чистих стратегій (i 0, j 0) першого і другого гравців, що утворює седловую точку і седловой елемент називається рішенням гри.
Чисті стратегії i 0 і j 0 утворюють сідлову точку, називаються оптимальними чистими стратегіями відповідно першого і другого гравців.
Теорема 1. Нехай f (х, у) речова функція двох змінних х А і ...
