?).
Вирішення Завдання 4
??" - 2 ??? + 5 ??=5 - 4 ?? +2
?? (0)=0, ??? (0)=2.
Дані Рівняння є неодноріднім ІІ-го порядку Із став коефіцієнтамі.
ЙОГО загальний розвязок:
Знайдемо загальний розвязок відповідного однорідного Рівняння:
Зробимо заміну
Складемо характеристичності Рівняння:
Знайдемо его корені:
Тоді, () =.
Шукаємо Частинами розвязок за вигляд правої части:
Знайдемо Похідні:
Підставімо їх в Початкове Рівняння:
??" - 2 ??? + 5 ??=5 - 4 ?? +2
одержимість:
Прірівнюємо КОЕФІЦІЄНТИ при відповідніх ступенях обох частин Рівняння:
?? ? 5 ?? =5? ?? =1 ?? ? ?- 4 +5 ?? =- 4 ??? =0 ?? °? ? ?? =0
Тоді,
Тоді,=+ ???.
Знайдемо его похідну:
=++ 2 ??
Підставімо в та в его похідну Початкові умови
Де,
Тоді ,?
Підставімо значення стали в і одержимо Частинами розвязок:
Відповідь: Частинами розвязок діференціального Рівняння
??" - 2 ??? + 5 ??=5 - 4 ?? +2, Який задовольняє Початкові умови: ?? (0)=0, ??? (0)=2 складає.
Вирішення Завдання 5
а) - це числовий рід з додатнімі членами. Его збіжність перевіряється за необхідною Ознакою :
Если границя Загально члена, то ряд розбіжній.
Обчіслюємо=12? 0, тому ряд розбіжній.
б)
Збіжність перевірімо за Ознакою порівняння .
Підберемо ряд, Який обмежує Сейчас ряд зверху або знизу.
Очевидно, что при ?? буде
?
?
Розглянемо ряд Із загально членом Члени цього ряду утворюють нескінченно спадної геометричність прогресію Із знаменніком.
Тому за Ознакою Даламбера ряд - збіжній.
Оскількі, члени досліджуваного ряду Менші членів збіжного ряду, то Сейчас ряд теж збіжній.
в) -це ряд Лейбніца.
ЙОГО збіжність перевіряється за Ознакою Лейбніца .
1) Члени ряду повінні спадаті по модулю.
Дійсно,
2) Загальний член ряду має прямуваті до нуля:
.
Обідві умови віконуються, того за Ознакою Лейбніца Сейчас ряд збігається.
Вирішення Завдання 6
За умів, загальний член цього ряду
Знайдемо Наступний член
Знайдемо границю їхнього відношення и накладемо умові, что вона:
Із нерівності Знайдемо Межі для ??:
Інтервал збіжності даного ряду.
Перевірімо ряд на збіжність на кінцях цього інтервалу:
1) ??, тоді.
Ряд з таким загально членом є знакозміннім поруч Лейбніца, тому его збіжність перевіряють за Ознакою Лейбніца:
1) віконується
) віконується
Тому ряд збіжній, и того Належить до області збіжності даного ряду.
3), тоді
Ряд перевіряється на збіжність за інтегральною Ознакою:
Оскількі, функція ?? (??) - неперервно и спадної на інтервалі [1 ;, то існує невласній інтеграл
Оскількі, невласній інтеграл розбіжній, то Сейчас ряд теж розбіжній. Тому крапка не Належить до області збіжності початкових степеневих ряду.
- область збіжності.
