Завдання 1. Знайте невізначені інтегралі (результати у випадка «a» i «б» перевіріті діференціюванням).
а);
б);
в);
г)
Завдання 2. Обчісліті площу фігурі, ограниченной Вказаною лініямі, ??=4 - 3 ??. Віконаті малюнок.
Завдання 3. Знайте загальний розв язок діференціального Рівняння Першого порядку:
??? + 2 ???? =2 ??
Завдання 4. Знайте Частинами розвязок діференціального Рівняння
??" - 2 ??? + 5 ??=5 - 4 ?? +2
Який задовольняє Початкові умови:
?? (0)=0, ??? (0)=2.
Завдання 5. Дослідіті на збіжність числові ряди
а)
б)
в)
інтеграл діференційній Рівняння числовий
Завдання 6. Знайте Інтервал збіжності степеневих ряду ї дослідіті его збіжність на кінцях інтервалу.
Вирішення Завдання 1
а) Знайдемо методом підстановкі. Замінюємо.
Отже,
??
??????=2 ??????
??????=??????
= + ??=
б) Знайдемо методом інтегрування частинами:
??=??
????=????
????=????
??=-
Отже,=?? (- -=- ?? +=- ??
в)
Розкладемо підінтегральну функцію на Прості дробу:
=+ +
=???? (?? + 1) + ?? (?? + 1) + ?????
=????? + ???? + ???? + ?? + ?????
=(?? + ??) ??? + (?? + ??) ?? + ??
?? ? 0=?? + ??? ?? =- ?? =- (- 1)=1 ?? ? 0=?? + ??? ?? =- ?? =- 1 ?? ° 1=??? ?? =1
Тоді,
Тоді, + += - ???? | ?? | - + ???? | ?? +1 | + ??
г)==
Замінюємо, тоді
Розкладемо підінтегральну функцію на Прості дробу:
=(1)
Зводімо до Спільного знаменніка и прірівнюємо чисельників:
=???? (??? - 1) + ?? (??? - 1) + ????? (?? + 1) + ????? (?? - 1)
=?????- ???? + ?????- ?? + ????? + ????? + ?????- ??
=(?? + ?? + ??) ??? + (?? + ??) ??? + (- ??) ?? + (- ?? - ??)
Прірівнюємо КОЕФІЦІЄНТИ при Однаково ступенях лівої та правої части:
?? ? ?? + ?? + ?? =0?- ?? + ?? =0 ?? ? ?? + ?? =0? ? ?? =???? ?- ?? =0? ?? =0 ?? ° - ??- ?? =0?- ??- ?? =1?- 2 ?? =1? ?? =- -
?? =- -
?? =- ?? =
??=0
Підставляємо знайдені значення у тотожність (1):
=
Тоді,=- ???? | ??- 1 | +
+ ???? | ?? + 1 | + ?? = - ???? | - 1 | + ???? | +1 | + ?? .
Вирішення Завдання 2
, ??=4 - 3 ??; ??-?
Знайдемо точки Перетин параболи и прямої Із системи їхніх рівнянь
? =± 2?
?
Отже, точки Перетин будут (- 2; 10); (2; - 2)
Зробимо Малюнок. Знайдемо вершину параболи Із Рівняння
?? =(??? - 3 ??) =2 ??- 3=0
C (1,5; - 2,25) - вершина параболи.
Віткі параболи направлені вгору, тому фігура знизу обмежена параболою, а зверху - прямою, тому:
Площа подобной фігурі:
??=
Оскількі функція парна, тому
Відповідь: Площа фігурі, обмежена Вказаною лініямі, ??=4 - 3 ?? складає
Вирішення Завдання 3
?? '+ 2 ????=2 ??
Дані Рівняння є лінійнім, того его розвязок будемо шукати методом Бернуллі, тобто невідому функцію ?? будемо шукати у виде добутку двох невідоміх функцій ?? (??) та ?? (??):
??=?? · ?? ? ?? =?? ?? + ?? '??
Підставляємо в Рівняння:
?? ?? + ?? ?? + 2 ??????=2 ??
Віносімо за дужки ??:
?? ?? + ?? (?? +2 ????)=2 ??
Нехай ?? '+ 2 ????=0 (1)
Тоді ?? '??=2 ?? (2)
Розвяжемо Рівняння (1):
?? '+ 2 ????=0
? ? 2 ???? ? ? ???? ?? =-?
? ?? =
Тоді Рівняння (2)? ?? laquo ;? ?? =2 ?? ? ?? == ??? + ?? ?
? ?? = ?? ? + ??
Тоді, = ?? · ??= ( ?? ? + ?? ) - загальний розв'язок.
Відповідь: Загальний розвязок діференціального Рівняння Першого порядку ??? + 2 ???? =2 ?? становіть (??? + ?...
