вається мінімаксної. Коли другий гравець буде дотримуватися своєї мінімаксної стратегії, то у нього є гарантія, що він у жодному разі програє не більш?.
Оскільки, то платіжна матриця не має сідлову точку, тобто вона вирішується в змішаних стратегіях.
Ціна гри знаходиться в межах:
ЗАВДАННЯ 2
Спростити платіжну матрицю:
Рішення:
Якщо всі елементи i-го рядка платіжної матриці більше відповідних елементів k-го рядка, то i-й рядок гравця А називається домінуючою над k-й рядком.
Всі елементи 1-го рядка менше або дорівнюють елементам третього рядка. Отже, гравцеві А не вигідно використовувати 1-ю стратегію, ймовірність, що він буде її використовувати дорівнює нулю х 1=0. Третя стратегія домінує над першою. Перший рядок видаляємо.
Всі елементи 5-го рядка менше або дорівнюють елементам 2-го рядка. Отже, гравцеві А не вигідно використовувати 5-ю стратегію, ймовірність, що він буде її використовувати дорівнює нулю х 5=0. Другий рядок домінує над п'ятою. п'ятий рядок видаляємо.
Всі елементи третього рядка менше або дорівнюють елементам 4-го рядка. Отже, гравцеві А не вигідно використовувати 4-ю стратегію, ймовірність, що він буде її використовувати дорівнює нулю х 4=0. Третій рядок домінує над четвертою. Четвертий рядок видаляємо. Отримуємо матрицю:
А 2=25324А 3=63246
Якщо всі елементи j-го стовпця платіжної матриці менше відповідних елементів k-го стовпця, то j-й рядок гравця В називається домінуючою над k-й рядком. Всі елементи 1-го стовпця більше або дорівнювати елементам 4-го стовпця. Гравцеві В не вигідно використовувати 1-ю стратегію, ймовірність її застосування дорівнює нулю у 1=0. 4-й стовпець домінує над 1-м стовпцем. 1 стовпець видаляємо. Всі елементи 5-го шпальти більше елементів 4-го стовпця. Гравцеві В не вигідно використовувати 5-ю стратегію, ймовірність її застосування дорівнює нулю у 5=0. 4-й стовпець домінує над 5-м стовпцем. 5 стовпець видаляємо. Всі елементи 2-го стовпця більше елементів третього стовпця. Гравцеві В не вигідно використовувати 2-ю стратегію, ймовірність її застосування дорівнює нулю у 2=0. третій стовпець домінує над 2-м стовпцем. 2 стовпець видаляємо. Отримуємо платіжну матрицю:
ЗАВДАННЯ 3
платіжний матриця гра програмування
Вирішити матричну гру за допомогою відомості до задачі лінійного програмування і надбудови Пошук рішення :
. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
Теорія ігор знаходиться в тісному зв'язку з лінійним програмуванням, так як кожна кінцева гра двох осіб з нульовою сумою може бути представлена ??як задача лінійного програмування.
Знаходимо нижню ціну гри:
Знаходимо верхню ціну гри:
Оскільки, то платіжна матриця не має сідлової точки.
Ціна гри знаходиться в межах:
Рішенням ігри є змішані стратегії гравців і, де х 1 - ймовірність застосування 1-м гравцем 1-й стратегії, х 2 - ймовірність застосування 1-м гравцем другої стратегії, х 3 - ймовірність застосування 1-м гравцем третього стратегії, у 1 - ймовірність застосування 2-м гравцем 1-й стратегії, у 2 - ймовірність застосування 2-м гравцем другої стратегії, у 3 - ймовірність застосування 2-м гравцем третього стратегії.
Застосування першим гравцем оптимальної стратегії повинно забезпечувати йому за будь-яких діях другого гравця виграш не менше ціни гри v:
Величина v невідома, однак можна вважати, що ціна гри v gt; 0. Перетворимо систему обмежень, розділивши всі човни на нерівностей на v:
, де
.
За умовою х 1 + х 2 + х 3=1. Розділимо обидві частини цієї рівності на v:
Оптимальна стратегія гравця А повинна максимізувати величину v, отже, функція повинна приймати мінімальне значення:
.
Таким чином, маємо задачу лінійного програмування.
Аналогічно для другого гравця складемо задачу лінійного програмування (двоїста задача):
, де
Оптимальна стратегія гравця В повинна мінімізувати величину v, отже, функція:
Таким чином, для знаходження рішення гри маємо пару двоїстих задач лінійного програмування.
