шіть формулу функції щільності розподілу ймовірності і схематично побудуйте її графік;
) знайдіть ймовірність того, що X прийме значення з інтервалу.
Рішення.
- формула функції щільності розподілу ймовірності
Завдання №9
Дана вибірка обсягом N=38 значень денної виручки магазину (у тис. руб.). На підставі цих даних:
. побудувати інтервальний статистичний ряд;
. побудувати функцію розподілу і гістограму;
. обчислити середнє значення, середнє квадратичне відхилення S;
. отримати точкові та інтервальні оцінки математичного сподівання і дисперсії генеральної сукупності. (Довірча ймовірність дорівнює 0,95)
. перевірте гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності за критерієм Пірсона при рівні значущості.
Вихідні дані:
19,71322,44118,74722,47020,53116,98220,89517,74419,67819,21223,24818,38821,81418,08522,69217,31822,07917,86119,78321,06022,07219,51921,95420,43316,78818,32022,06016,59519,22520,18223,15519,55022,81417,33219,41921,62418,41320,129
Рішення.
Кількість груп визначимо за формулою Стерджесса:.
Ширина інтервалу складе:.
Результати угруповання оформимо у вигляді таблиці:
Інтервали группировкиЧастота16,592-17,702517,702-18,812718,812-19,922819,922-21,032521,032-22,142722,142-23,2526Сумма38
Таблиця для розрахунку показників.
ІнтервалиСередіни інтервалів, Частоти, 16,592-17,70217,147585,73539,3120817,702-18,81218,2577127,79920,08745218,812-19,92219,3678154,9362,72844819,922-21,03220,4775102,3851,3833821,032-22,14221,5877151,10918,73547222,142-23,25222,6976136,18245,243096Итого38758,146127,489928 Вибіркове середнє визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої, в якості варіант використовуючи середини інтервалів:
.
Визначимо дисперсію: і середнє квадратичне відхилення.
І незміщені оцінки: і.
Довірчий інтервал для генерального середнього має вигляд:
Визначаємо значення t по таблиці розподілу Стьюдента tтабл (n - 1;?/2)=(37; 0,025)=2,021.
і довірчий інтервал має вигляд:.
Визначимо довірчий інтервал для дисперсії.
Ймовірність виходу за нижню межу дорівнює P (? 2n - 1 lt; hH)=(1 -?)/2=(1-0,95)/2=0,025. Для кількості ступенів свободи k=37 по таблиці розподілу? 2 знаходимо:? 2 (37; 0,025)=55,668.
Випадкова помилка дисперсії:
Ймовірність виходу за верхню межу дорівнює P (? 2n - 1? hB)=1 - P (? 2n - 1 lt; hH)=1 - 0,025=0,975. Для кількості ступенів свободи k=37, за таблицею розподілу? 2 знаходимо:? 2 (37; 0,975)=22,106.
Випадкова помилка дисперсії:.
Тоді довірчий інтервал має вигляд:.
Перевіримо гіпотезу про те, що Х розподілено по нормальному закону за допомогою критерію згоди Пірсона, де pi - ймовірність попадання в i-й інтервал випадкової величини, розподіленої за гіпотетичним законом
Для обчислення ймовірностей pi застосуємо формулу і таблицю функції Лапласа.
Інтервалиni Ф(x1)Ф(x2)pi38piKi16,592-17,7025-1,81-1,21-0,46-0,390,07662,911,517,702-18,8127-1,21-0,61-0,39-0,230,165,920,218,812-19,9228-0,61-0,0157-0,23-0,0080,228,530,032519,922-21,0325-0,01570,58-0,0080,220,238,761,6121,032-22,14270,581,180,220,380,166,10,1322,142-23,25261,181,780,380,460,07953,022,94Сумма386,41
Визначимо кордон критичній області. Так як статистика Пірсона вимірює різницю між емпіричним і теоретичним розподілами, то чим більше її спостережуване значення Kнабл, тим сильніше аргумент проти основної гіпотези.
Тому критична область для цієї статистики завжди правобічна: [Kкp; +?).
Її кордон Kкp =? 2 (kr - 1 ;?) знаходимо за таблицями розподілу? 2 і заданим значенням s, k, r=2. Кp=11,345; Kнабл=6,54
Спостережуване значення статистики Пірсона НЕ потрапляє в критичну область, тому немає підстав відкидати основну гіпотезу. Справедливо припущення про те, що дані вибірки мають нормальний розподіл.
Завдання №10
За даними, наведеними нижче:
. визначити вибірковий коефіцієнт кореляції;
. отримати рівняння регресії Y=A * X + B;
. накласти пряму регресії на поле розсіювання.
Рішення.
XY0,3042,5180,1352,1850,4432,4130,8833,2440,3412,4810,6812,7580,2052,2040,3462,5170,4922,4950,1612,4850,7403,0530,6702,7400,5322,5070,1922,3630,1222,1890,0362,3450,2752,4970,1602,5580,1542,3580,1102,3010,8842,8360,1492,4700,0412,0580,8262,8010,8762,9390,9593,1300,1022,3660,3772,7950,3832,7400,8623,076
Побудуємо поле корел...
