о одній функції визначається інша функція. Дійсно, якщо відомий оператор технологічного процесу, то таким чином відома математична модель процесу, так як відома математична закономірність перетворення і .
Відповідність між вхідними і вихідний функціями, встановлюване оператором може бути записано скорочено таким чином:
(2.1)
Поняття оператора є більш загальним, ніж поняття функції або функціоналу. Функція ставить у відповідність дві змінні величини: наприклад, для функції, задаючи значення аргументу X, отримуємо числове значення функції Y. Функціонал ставить у відповідність змінну величину і функцію; наприклад, для функціоналу, задаючи функцію, отримаємо числове значення функціоналу Y. Поняття функціоналу є більш загальним, ніж поняття функції. Ще більш загальним поняттям є поняття оператора, що ставить згідно з формулою (2.1) у відповідність дві функції. В якості прикладів операторів вкажемо оператор диференціювання
(2.2)
оператор інтегрування
(2.3)
Конкретне уявлення динамічної моделі технологічного процесу може бути різним і залежить від цілей дослідження, методів вирішення конкретного завдання та інших факторів. Так, динамічна модель лінійного одновимірного об'єкта може бути представлена ??у вигляді диференціального рівняння
(2.4)
імпульсної перехідної (ваговий) функцією
(2.5)
частотної характеристикою
(2.6)
де вхідна змінна
Кожна з цих динамічних моделей дає повний опис лінійного одновимірного об'єкта, і ці уявлення еквівалентні; маючи один з видів опису, можна в результаті відповідних перетворень перейти до іншого.
На підставі сказаного вище очевидно, що під побудовою динамічної моделі одновимірного технологічного процесу розуміють знаходження оператора, що ставить у відповідність вхідну і вихідну функції об'єкта. При цьому істотно, що при ідентифікації оператор об'єкта у формулі (2.1) знаходиться за результатами вимірювань і , отриманим в процесі нормального функціонування об'єкта. Результати вимірювань і розглядають як реалізацію випадкових функцій і . За реалізаціям і ставиться завдання ухвали не самого оператора а його оцінки, яка і використовується в якості характеристики невідомого істинного оператора.
Очевидно, що при побудові моделі, тобто при визначенні , природно вимагати близькості до істинного оператору в тому сенсі, щоб вихід моделі був близький до виходу об'єкта .
Для того, щоб задача могла бути конкретизована, вводиться функція втрат, яка залежить від вихідних змінних об'єкта і моделі, але не залежить від оператора .Обозначім цю функцію через . Природно накласти наступну вимогу: середнє значення (математичне очікування) функції втрат має бути найменшим, т.е.
(2.7)
Відомо, що в практичних додатках для вирішення завдань точності виробництва найчастіше приймається критерій мінімуму середнього квадрата помилки, тобто в цьому випадку функція втрат і умова (3) запишеться у вигляді
(2.8)
З статистичної динаміки відомо, що співвідношення (2.7) буде виконано, якщо зажадати мінімуму математичного очікування функції при фіксованій випадкової функції, т.е.
(2.9)
Тоді достатньою умовою мінімуму співвідношення (2.7) буде наступне:
(2.10)
Якщо в якості критерію вибрати мінімум середнього квадрата помилки, тобто зажадати виконання співвідношення (2.8), то, враховуючи умову (2.10), отримаємо наступне рівняння для визначення оптимальної за цим критерієм оцінки оператора .
(2.11)
З рівняння (2.11) видно, що оператор умовного математичного очікування вихідної змінної щодо вхідної змінної дає оптимальний оператор об'єкта в класі всіх можливих операторів за критерієм мінімуму середнього квадрата помилки. Таким чином, якщо за реалізаціям вхідний і вихідний випадкових функцій одновимірного технологічного процесу знайти рівняння регресії вихідної змінної щодо вхідну, то отримаємо шукану модель технологічного процесу.
Будемо шукати оператор об'єкта в класі лінійних операторів, тоді для отримання рівняння, для побудови динамічної лінійної моделі помножимо обидві частини рівняння (2.11) на вхідну випадкову функцію
і усереднити отриманий результат
.
Після осредненія отримаємо
(2.12)
У зв'язку з тим, що оператор шукається у класі лінійних операторів, то оператор математичного очікування (осереднення) М коммутатівен з оператором . Тоді з рівняння (2.12) отримаємо наступне рівняння для визначення оптимальної оцінки о...
