ператора в класі лінійних операторів за критерієм мінімуму середнього квадрата помилки:
(2.13)
Для конкретного уявлення отриманого результату для лінійної динамічної системи, наприклад для отримання ваговій функції об'єкта рівнянням (2.5), не обмежуючи спільності, можна припустити, що математичні очікування вхідний і вихідний змінних дорівнюють нулю, тобто і. Згідно з визначенням кореляційної функції випадкової функції і взаємної кореляційної функції двох випадкових функцій в лівій частині рівняння (2.13) маємо кореляційну функцію вхідний випадкової функції, а в правій частині - взаємну кореляційну функцію вихідний і вхідний випадкових функцій. Тоді уравненіеможет бути переписано наступним чином:
(*)
де - кореляційна функція, a - взаємна кореляційна функція і. За допомогою вагової функції рівняння (*) запишеться так:
(2.14)
Таким чином, динамічна лінійна модель може бути отримана шляхом рішення рівняння (2.14), якщо відомі кореляційна функція вхідної змінної і взаємна кореляційна функція вхідний і вихідний змінних.
Аналогічний результат може бути отриманий, якщо використати представлення динамічного об'єкта у вигляді рівняння (2). Обидві частини останнього помножимо на вхідну випадкову функцію
і усереднити обидві частини t
(2.15)
Так як операція математичного очікування та інтегрування коммутативна, то рівняння (2.15) можна представити у вигляді
Якщо тепер припустити, що і=0, а також врахувати визначення кореляційної та взаємної кореляційної функції, то одержимо рівняння (2.14).
Практично побудова динамічної лінійної моделі значно спрощується для стаціонарного об'єкта, тобто коли вхідна і вихідна змінні є стаціонарними і стаціонарно зв'язаними. Рівняння (2.13) в цьому випадку може бути записано в наступному вигляді:
де - кореляційна функція стаціонарної вхідний випадкової функції, - взаємна кореляційна функція стаціонарних і стаціонарно пов'язаних випадкових функцій входу і виходу . Вагова функція лінійної динамічної системи при нескінченному інтервалі спостереження в цьому випадку визначається шляхом вирішення інтегрального рівняння
(2.16)
для якого виконується умова фізичної можливості системи, тобто прі. Рівняння (2.16) дає оптимальну за критерієм мінімуму середнього квадрата помилки оцінку оператора стаціонарного об'єкта. Це рівняння при відомо як інтегральне рівняння Вінера-Хопфа. Таким чином, для отримання динамічної моделі стаціонарного технологічного процесу необхідно мати кореляційну функцію вхідний стаціонарної випадкової функції Х (s) і взаємну кореляційну функцію стаціонарних і стаціонарно пов'язаних випадкових функцій входу і виходу .
Сутність аналітичного підходу до побудови динамічної моделі полягає в тому, що інтегральне уравненіе2.16 за певних умов може бути зведене в інтегрального рівняння Вольтерра першого роду типу згортки, яке просто вирішується за допомогою перетворення Лапласа. Нехай за результатами теоретичного аналізу або статистичної обробки експериментальних даних задані кореляційна функція вхідний випадкової функції і взаємна кореляційна функція вхідний і вихідний випадкових функцій. Уявімо кореляційну функцію у вигляді
3.1
Так як кореляційна функція є симетричною функцією аргументу t, то
3.2
і, якщо кореляційна функція тотожно не дорівнює для всіх значень аргументу t при продовженні відповідних гілок кореляційної функції, т.е.
3.3
то уравненіе2.16 можна звести до рівняння Вольтерра першого роду типу згортки. Умова 3.3 буде виконано, коли в функцію буде явно входити модуль t. Аналогічно функції 3.1 може бути представлена ??і взаємна кореляційна функція:
3.4
при цьому природно, що умова 3.2 не виконується, так як взаємна кореляційна функція несиметрична.
Висновок
рішення математичний апроксимація рівняння
Побудова динамічної моделі одновимірного лінійного стаціонарного об'єкта шляхом вирішення інтегрального уравненія2.16 базується на апроксимації рівняння 2.16 системою лінійних алгебраїчних рівнянь. У деяких випадках, коли задані кореляційна функція входу і взаємна кореляційна функція входу і виходу технологічного процесу, можливо аналітичне рішення рівняння 2.16с метою отримання вагової функції технологічного процесу, що є його динамічною характеристикою. Як буде ясно з подальшого викладу, аналітичне рішення дає можливість підійти до вирішення завдання з побудови типових динамічних характеристик технологічних процесів.
Сутність постановки завдання побудови типових динамічних ...
