Через точку Mi проведемо дотичну площину до поверхні. Рівняння її прикмет вид
(2)
На цій площині виділимо таку площадку, яка проектується на площину Оху у вигляді площадки. Розглянемо суму всіх майданчиків
Межа цієї суми, коли найбільший з діаметрів майданчиків - прагне до нуля, ми будемо називати площею поверхні, т. е. за визначенням покладемо
(3)
Займемося тепер обчисленням площі поверхні. Позначимо через кут між дотичною площиною і площиною Оху.
Рис. 10 Рис.11
На підставі відомої формули аналітичної геометрії можна написати (рис.11)
або
(4)
Кут є в той же час кут між віссю Oz і перпендикуляром до площини (1). Тому на підставі рівняння (1) і формули аналітичної геометрії маємо
Отже,
Підставляючи цей вираз у формулу (2), одержимо
Так як межа інтегральної суми, що стоїть в правій частині останньої рівності, за визначенням являє собою подвійний інтеграл то остаточно отримуємо:
(5)
Це і є формула, за якою обчислюється площа поверхні
Якщо рівняння поверхні дано у вигляді або у вигляді то відповідні формули для обчислення поверхні мають вигляд
(6)
(6)
де D і D - області на площинах Oyz і Oxz, в які проектується дана поверхня.
а) Приклади
Приклад 1. Обчислити поверхню сфери
Рішення. Обчислимо поверхню верхньої половини сфери (рис.22). У цьому випадку
Отже, подинтегральная функція набуде вигляду
Область інтегрування визначається умовою. Таким чином, на підставі формули (4) будемо мати
Для обчислення отриманого подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат. У полярних координатах межа області інтегрування визначається рівнянням Отже,
Приклад 2. Знайти площу тієї частини поверхні циліндра яка вирізається циліндром
Рис. 12 Рис. 13
Рішення. На рис.23 зображена частина шуканої поверхні. Рівняння поверхні має вигляд; тому
Область інтегрування являє собою чверть кола, тобто визначається умовами
Отже,
Список використаної літератури
А.Ф. Бермант, І.Г. Арамановіч, Короткий курс математичного аналізу для втузів: Навчальний посібник для втузів: - М .: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1971 р 736с.
Н.С. Піскунов, Диференціальне та інтегральне числення для втузів, Том 2: Навчальний посібник для втузів.- 13-е изд.-М .: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 560с.
В.С. Шіпачёв, Вища математика: Навчальний посібник для втузів: - М: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури.
