да.
. Використовуючи функцію ЛИНЕЙН обчислити числові характеристики залежності від.
. Порівняти свої обчислення з результатами, отриманими за допомогою функції ЛИНЕЙН.
. Зробити висновок, яка з отриманих формул найкращим чином апроксимує функцію.
. Написати програму на одній з мов програмування і порівняти результати рахунки з отриманими вище.
Варіант 3. Функція задана табл. 1.
Таблиця 1.
xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542.444.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.13275.742.088.083.0623.754.0175.085.23139.657.25321.43
2. Розрахункові формули
Часто при аналізі емпіричних даних виникає необхідність знайти функціональну залежність між величинами x і y, які отримані в результаті досвіду або вимірювань.
Хi (незалежна величина) задається експериментатором, а yi, звана емпіричними чи досвідченими значеннями виходить в результаті досвіду.
Аналітичний вид функціональної залежності, що існує між величинами x і y зазвичай невідомий, тому виникає практично важливе завдання - знайти емпіричну формулу
, (1)
(де - параметри), значення якої при можливо мало відрізнялися б від досвідчених значень.
Відповідно до методу найменших квадратів найкращими коефіцієнтами вважаються ті, для яких сума квадратів відхилень знайденою емпіричної функції від заданих значень функції буде мінімальною.
(2)
Використовуючи необхідна умова екстремуму функції декількох змінних - рівність нулю приватних похідних, знаходять набір коефіцієнтів, які доставляють мінімум функції, обумовленою формулою (2) і отримують нормальну систему для визначення коефіцієнтів:
(3)
Таким чином, перебування коефіцієнтів зводиться до вирішення системи (3).
Вид системи (3) залежить від того, з якого класу емпіричних формул ми шукаємо залежність (1). У разі лінійної залежності система (3) прийме вигляд:
(4)
У разі квадратичної залежності система (3) прийме вигляд:
(5)
У ряді випадків в якості емпіричної формули беруть функцію в яку невизначені коефіцієнти входять нелінійно. При цьому іноді завдання вдається линеаризовать тобто звести до лінійної. До числа таких залежностей відноситься Експоненціальна залежність
(6)
де a1і a2 невизначені коефіцієнти.
Лінеаризація досягається шляхом логарифмування рівності (6), після чого одержуємо співвідношення
(7)
Позначимо і відповідно через і, тоді залежність (6) може бути записана у вигляді, що дозволяє застосувати формули (4) із заміною a1 на і на.
Графік відновленої функціональної залежності y (x) за результатами вимірювань (xi, yi), i=1,2, ..., n називається кривою регресії. Для перевірки згоди побудованої кривої регресії з результатами експерименту зазвичай вводять такі числові характеристики: коефіцієнт кореляції (лінійна залежність), кореляційне відношення і коефіцієнт детермінованості.
Коефіцієнт кореляції є мірою лінійного зв'язку між залежними випадковими величинами: він показує, наскільки добре в середньому може бути представлена ??одна з величин у вигляді лінійної функції одної.
Коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою:
(8)
(9)
де - середнє арифметичне значення відповідно по x, y.
Коефіцієнт кореляції між випадковими величинами за абсолютною величиною не перевищує 1. Чим ближче до 1, тим тісніше лінійна зв'язок між x і y.
У разі нелінійної кореляційної зв'язку умовні середні значення розташовуються близько кривої лінії. У цьому випадку в якості характеристики сили зв'язку рекомендується використовувати кореляційне відношення, інтерпретація якого не залежить від виду досліджуваної залежності.
Кореляційне відношення обчислюється за формулою:
(10)
де а чисельник характеризує розсіювання умовних середніх близько безумовного середнього.
Завжди. Рівність=відповідає випадковим некоррелірованнимі величинам; =Тоді і тільки тоді, коли є точна функціональна зв'язок між x і y. У разі лінійної залежності y від x кореляційне відношення збігається з квадратом коефіцієнта кореляції. Величина використовується як індикатор відхилення регресії від лінійної.
Кореляційне відношення є мірою кореляційної зв'язку ycx в будь-якій формі, але не може дати уявлення про ступінь наближеності емпіричних даних до спеціальної формі. Щоб з'ясувати наскільки точно построен5ная крива відображає емпіричні дані запроваджується ще одна характеристика - коефіцієнт детермінованості.
Коефіц...
