>
В
можемо будувати послідовності.
У 1877 році в В«Теорії звукуВ» лорд Релей писав: В«якщо x є деяке позитивне ірраціональне число, менше одиниці, то можна взяти два ряди величин n/x і n/(x-1) де n = 1,2,3 ...; кожне число, що належить до того чи іншого ряду, і тільки воно одне, буде укладено між двома послідовними натуральними числами ". Тобто br/>
і
заповнюють без пропусків і перекриттів весь натуральний ряд, якщо
0
Гіпотеза Акулича і явні формули
І.Ф. Акуліч запропонував гіпотезу: відношення кількості a-чисел до кількістю b-чисел прагне до В«золотого перетинуВ»
В
(де a-числа - числа, належать послідовності, b-числа-числа, що належать послідовності).
[(1 +) n/2]
= [(1 +) n/2] + n = [(3 +) n/2]
Виведемо з явних формул гіпотезу Акулича. p> Позначимо
;
Розглянемо натуральне число N і з'ясуємо скільки a-чисел і b-чисел серед перших N натуральних чисел, якщо послідовності задані формулами:
;
Нерівності рівносильно, за визначенню цілої частини, нерівності
[(N +1) /]
Тоді відношення кількості a - чисел до кількості b-чисел дорівнює
В
спрямується N до нескінченності, отримаємо
В
Гіпотеза виявилася вірна, за умови що обидві послідовності і задані явними формулами
[(1 +) n/2]
= [(3 +) n/2]
Але Акуліч не перший здогадався представити послідовності і у вигляді [] і []. p> Ці ж явні формули виходять з формул Релея при x = 2/(1 +), оскільки при цьому величина 1-x дорівнює якраз 2/(3 +), тобто br/>В
Виникає питання про єдиності розбиття множини N на дві послідовності.
У статті Баабабова [2] доводиться теорема, узагальнююча цей результат і стверджує, що таких разбиений натурального ряду існує нескінченно багато. Наведемо дану теорему та її докладний доказ. p> Позначимо
В
Теорема.
Якщо і - позитивні ірраціональні числа, пов'язані співвідношенням, то серед чисел виду [] і [], де n, кожне натуральне число зустрічається рівно один раз. p> Доказ:
Оскільки> 1, в послідовності ніяке число не повторюється. Аналогічно внаслідок нерівності> 1 строго зростає і послідовність
Дійсно, нехай [] - k
В
Отже, p> Доведемо тепер, що кожне натуральне число зустрічається рівно один раз.
Припустимо, що деяке натуральне число k увійшло в обидві послідовності т е k =, де m, n - натуральні числа. Тоді повинні бути виконані нерівності
k <
тобто
В
складемо ці нерівності, не забуваючи про умову
В
Отримаємо
В
звідки k
Але такого для натуральних чисел не може бути. Значить, число k не могло увійти в обидві послідовності.
Тепер припустимо, що k не ввійшло в жодну з послідовностей. Тоді для деяких натуральних чисел m і n повинні виконуватися нерівності
m
n
які можна перетворити до вигляду
В
складаючи, отримуємо
В
звідки m + n k-1
Такого для натуральних чисел теж не може бути. Отримуємо протиріччя, отже, теорема доведена.
У наступному параграфі розглянуті вправи про розбитті натурального ряду, при вирішенні яких використовуються результати даного параграфа.
В§ 3. Вправи
Вправа 1
Нехай послідовність задана формулою
. Знайти.
В
1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
В
49 50
В
Використовуючи цю формулу, можна знайти будь-яке a.
Вправа 2. br/>
Обчислити
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
[(1 +) n/2]
1
3
4
6
8
9
11
12
<...
