Вихідні дані, як правило, містять похибки, так як вони або неточно виміряні, або є результатом вирішення деяких допоміжних завдань. Наприклад, маса снаряда, продуктивність обладнання, передбачувана ціна товару та ін У багатьох фізичних і технічних завданнях похибка вимірювань становить 1 - 10%. Похибка вихідних даних так само, як і похибка математичної моделі, вважається непереборний і надалі враховуватися не буде. p> 3. Метод обчислень. Застосовувані для вирішення завдання методи як правило є наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, функцію - многочленом, похідну - різницею і т. д. Похибка методу необхідно визначати для конкретного методу. Зазвичай її можна оцінити і проконтролювати. Слід вибирати похибка методу так, щоб вона була не більше, ніж на порядок менше непереборний похибки. Велика похибка знижує точність рішення, а менша вимагає значного збільшення обсягу обчислень.
4. Округлення в обчисленнях. Похибка округлення виникає через те, що обчислення виробляються з кінцевим числом значущих цифр (для ЕОМ це 10 - 12 знаків). Округлення виробляють за наступним правилом: якщо в старшому з відкидаються розрядів стоїть цифра менше п'яти, то вміст зберігаються розрядів НЕ змінюється; в іншому випадку в молодший зберігається розряд додається одиниця з тим же знаком, що і у самого числа. При вирішенні великих завдань виробляються мільярди обчислень, але так як похибки мають різні знаки, то вони частково взаімокомпенсіруются. p> Розрізняють абсолютну і відносну похибки. Нехай а - точний, взагалі кажучи невідоме числове значення деякої величини, а а * - відоме наближене значення цієї величини, тоді величину
В
D ( а * ) = | А - а * |
називають абсолютною похибкою числа а * , а величину
В
d ( а * ) = br/>
- його відносною похибкою.
При додаванні і вирахуванні складаються абсолютні похибки, а при поділі та примноження - відносні похибки.
1.2 Коректність
Визначимо спочатку поняття стійкості рішення.
Рішення завдання y * називається стійким за вихідними даними x * , якщо воно залежить від вихідних даних безперервним чином. Це означає, що малому зміни вихідних даних відповідає мале зміна рішення. Строго кажучи, для будь-якого e > 0 існує d = d ( e )> 0 таке, що всякому вихідного даному x * , задовольняє умові | x - x * | < d , відповідає наближене рішення y * , для якого | y - y * | < e .
Кажуть, що завдання поставлене коректно , якщо виконані наступні три умови:
1. Рішення існує при будь-яких допустимих вихідних даних.
2. Це рішення єдино.
3. Це рішення стійко по відношенню до малих змін вихідних даних.
Якщо хоча б одне з цих умов не виконано, завдання називається некоректною.
В
Приклад 1.1.
Покажемо, що задача обчислення певного інтеграла I = коректна. Нехай f * ( x ) - наближено задана функція і I * =. Очевидно, наближене рішення I * існує і єдино. Визначимо абсолютну похибку f * за допомогою рівності D ( f * ) = | F ( x ) - f * ( x ) |. Так як
D ( I ) = | I - I * | = | | ВЈ ( b - a ) D ( f * ),
то для будь-якого e > 0 нерівність D ( I ) < e буде виконано, якщо буде виконана умова D ( f * ) < d , де d = e / ( b - a ) .
Таким чином, рішення I * стійко. Всі три умови коректності завдання виконані.
В
Приклад 1.2.
Покажемо, що задача обчислення похідної u ( x ) = f ' ( x ) наближено заданої функції некоректна. p> Нехай f * ( x ) - Наближено задана на відрізку [ a , b ] безперервно диференціюється функція і u * ( x ) = ( f * ( x )) '. Визначимо абсолютні похибки наступним чином: D ( f * ) = | f ( x ) - f * ( x ) |, D ( u * ) = | u ( x ) - u * ( x ) |. p> Візьмемо, наприклад, f * ( x ) = f ( x ) + a sin ( x/...
