a 2 ) , де 0 < a < 1. Тоді, u * ( x ) = U ( x ) + a - 1 cos ( x/ a 2 ) , D ( u * ) = a - 1 < i>, т. е . похибка завдання функції дорівнює a , а похибка похідної дорівнює a - 1 . Таким чином, як завгодно малої похибки завдання функції f може відповідати як завгодно велика похибка похідної f '.
1.3 Обчислювальні методи
Під обчислювальними методами будемо розуміти методи, які використовуються в обчислювальній математики для перетворення завдань до виду, зручного для реалізації на ЕОМ. Детальніше з різними класами обчислювальних методів можна познайомитися, наприклад, в [1]. Ми ж розглянемо два класи методів, що використовуються в нашому курсі. p> 1. Прямі методи. Метод рішення задачі називається прямим, якщо він дозволяє отримати рішення після виконання кінцевого числа елементарних операцій. Найменування елементарної операції тут умовно. Це може бути, наприклад, обчислення інтеграла, рішення системи рівнянь, обчислення значень функції і т. д. Важливо те, що її складність істотно менше, ніж складність основного завдання. Іноді прямі методи називають точними, маючи на увазі, що за відсутності помилок у вихідних даних і при виконанні елементарних операцій результат буде точним. Однак, при реалізації методу на ЕОМ неминучі помилки округлення і, як наслідок, наявність обчислювальної похибки.
2. Ітераційні методи. Суть ітераційних методів полягає в побудові послідовних наближень до вирішення завдання. Спочатку вибирають одне або кілька початкових наближень, а потім послідовно, використовуючи знайдені раніше наближення і однотипну процедуру розрахунку, будують нові наближення. У результаті такого ітераційного процесу можна теоретично побудувати нескінченну послідовність наближень до рішення. Якщо ця послідовність сходиться (що буває не завжди), то говорять, що ітераційний метод сходиться. Окремий крок ітераційного процесу називається итерацией.
Практично обчислення не можуть тривати нескінченно довго. Тому необхідно вибрати критерій закінчення ітераційного процесу. Критерій закінчення пов'язаний з необхідної точністю обчислень, а саме: обчислення закінчуються, коли похибка наближення не перевищує заданої величини.
Оцінки похибки наближення, отримані до обчислень, називають апріорними оцінками (від лат. a'priori - "до досвіду"), а відповідні оцінки, отримані в ході обчислень називають апостеріорними оцінками (від лат. a'posteriori - "після досвіду").
Важливою характеристикою ітераційних методів є швидкість збіжності методу. Кажуть, що метод має p -ий порядок збіжності якщо
| x n +1 - X * | = C | x n - x * | p , br/>
де x n і x n +1 - послідовні наближення, отримані в ході ітераційного процесу обчислень, x * - точне рішення, C - константа, яка не залежить від n . Кажуть, що метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії зі знаменником q <1, якщо для всіх n справедлива оцінка:
| x n - X * | ВЈ Cq n . br/>
Ітераційний процес називається однокроковим , якщо для обчислення чергового наближення x n +1 використовується тільки одне попереднє наближення x n і k-кроковим, якщо для обчислення x n +1 використовуються k попередніх наближень x n-k +1 , x n-k +2 , ..., X n . <В
Тема 2. Рішення нелінійних рівнянь
2.1 Постановка завдання
Нехай дана деяка функція f ( x ) і потрібно знайти всі або деякі значення x , для яких
В
f ( x ) = 0. (2.1)
Значення x * , при якому f ( x * ) = 0, називається коренем (або рішенням ) рівняння (2.1).
Щодо функції f ( x ) часто передбачається, що f ( x ) двічі безперервно дифференцируема в околиці кореня.
Корінь x * рівняння (2.1) називається простим , якщо перша похідна функції f ( x ) в точці x * не дорівнює нулю, тобто f '( x * ) 0. Якщо ж f '( x * ) = 0...
