потенціал U електричного поля, створюваного системою точкових зарядів q.
1. Теоретичні відомості
У загальному випадку поле - Це математичне поняття, еквівалентне поняттю функція точки простору raquo ;. Вважають, що поле задано, якщо в кожній точці простору задана деяка величина (функція).
Так як математичні величини можуть бути скалярами, векторами і тензорами, то і відповідні поля називаються скалярними, векторними і тензорними.
Скалярний поле задано в кожній точці простору тільки одним числом (модулем величини і знаком), векторне поле - трьома числами (складовими вектора), тензорне поле - більш, ніж трьома числами.
В окремому випадку, якщо досліджувана величина має фізичний зміст, то відповідне поле є також і фізичним.
Наприклад, фізичне поле температур є скалярним полем, електростатичне поле - векторним, поле пружних напружень - тензорним.
Будь-який вид фізичного поля створюється деякими джерелами його. Наприклад, електростатичне поле створюється постійними електричними зарядами, розподіленими в просторі.
Предмет теорії поля складається з вирішення двох типів задач:
вивчення характеристик поля, викликаного заданим розподілом його джерел ( прямі задачі теорії поля),
вивчення розподілу джерел поля за заданими характеристиками поля ( зворотні задачі теорії поля).
У практиці розвідувальної геофізики широке застосування одержали дослідження різних полів - електричного, магнітного, електромагнітного, гравітаційного, поля пружних напружень (хвиль), полів радіоактивних випромінювань, теплового поля, поля концентрацій та ін.
Електромагнітне поле. Система диференціальних рівнянь Максвелла.
Рівняння зв'язку.
Рівняння Максвелла в довільному середовищі мають вигляд [2, 3]
Рівняння зв'язку (у ізотропному середовищі) [2,3]:
Статична електромагнітне поле.
Статичним електромагнітним полем називається поле нерухомих зарядів, коли виконуються умови [2, 3]:
т.е. джерелами електричного поля в даному випадку є тільки електричні заряди, джерелами магнітного - тільки струми провідності. В даному випадку електричні і магнітні поля незалежні один від одного, що і дозволяє вивчати окремо постійні електричні і магнітні поля.
На відміну від рівнянь Максвелла для довільного електромагнітного поля, для статичного поля система рівнянь Максвелла розділяється на дві частини: для електростатичного (IIа) і для магнітостатіческого (IIб) [1, 2, 3]:
При вирішенні систем диференціальних рівнянь Максвелла (I), (IIa), (IIб) або інших на межах розділу середовищ необхідно виконувати граничні умови для векторів
При введенні допоміжних функцій - потенціалів необхідно виконувати операцію нормування їх.
Наприклад, з першого рівняння системи (IIa) для електростатичного поля випливає, що можна покласти [3]:
де допоміжна скалярна функція U називається потенціалом електростатичного поля.
З урахуванням рівняння зв'язку в ізотропному середовищі маємо:
Підставляючи вираз (2) у друге рівняння (IIa) в однорідному середовищі (?=const), маємо:
Або можемо записати дане рівняння через Оператор Гамільтона
де [2, 3]
Таким чином, потенціал електростатичного поля U в однорідному середовищі в точках, де, підпорядковується диференціальному рівнянню Пуассона (3), а в точках, де - диференціальному рівнянню Лапласа [1, 2, 3]:
.
Відповідно до закону Кулона [4,5] напруженість електричного поля точкового заряду в однорідному середовищі з діелектричною проникністю визначається виразом:
де - вектор, направлений з точкового заряду в точку вимірювання та по модулю рівний відстані між цими точками.
Підставляючи (5) в (1) та враховуючи центральну симетрію поля, отримаємо
інтегруючи диференціальне рівняння (6), знайдемо:
,
де С - довільна постійна.
Так як джерело обмежений за розмірами, використовуємо нульову нормировку потенціалу на нескінченності, тобто вважаємо:
Підст...
