>
Порівняємо рішення, отримане методом Рунге-кутти 4 порядку, з точним рішенням:
Обчислимо похибки
Спільне графічне рішення ДУ всіма способами
- похибка рішення за допомогою рядів
- похибка рішення за допомогою методу Рунге-кутти 4 порядку
похибка рішення за допомогою методу Ейлера
Завдання 2
Класичний спосіб
Знайдемо у
Операторний метод
Знайдемо зображення
Знайдемо Х і Y
Знайдемо x (t) і y (t):
Порівняємо з рішенням, отриманим класичним способом
Рішення за допомогою рядів
Перейдемо від системи ДУ 1 порядку до двох ДУ 2 порядку:
Розкладемо в ряд Маклорена:
Для порівняння, побудуємо графіки рішення операторних методом і за допомогою рядів
Обчислимо похибки
Метод Ейлера
Побудуємо графіки рішень операторних методом і методом Ейлера
Обчислимо похибки
Метод Рунге-кутти
Побудуємо графіки рішень операторних методом і методом Рунге-кутти
Обчислимо похибки
Спільне графічне рішення
- похибки рішення за допомогою методу Ейлера
- похибки рішення за допомогою методу Рунге-кутти 4 порядку
- похибки рішення за допомогою рядів
Висновок
Багато фізичні закони, яким підкоряються ті чи інші явища, можуть бути записані у вигляді диференціальних рівнянь. Ці рівняння описують зміна відповідних фізичних величин з плином часу і можуть служити як математичної моделі відповідного процесу.
Диференціальні рівняння відіграють важливу роль у прикладній математиці, фізиці і в інших науках, таких як біологія, економіка і електротехніка; насправді, вони виникають скрізь, де є необхідність кількісного (числового) опису явищ навколишнього світу.
Теорія чисельного рішення диференціальних рівнянь добре розроблена і на її основі створено безліч прикладних програм, що дозволяють користувачеві отримати рішення і вивести його в графічному вигляді. Серед цих програм слід в першу чергу відзначити такі математичні пакети, як MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE і MATHCAD. [3]
У представленій роботі були використані різні методи рішення диференціальних рівнянь та їх систем:
Класичний метод
Операторний метод
Рішення ДУ з допомогою рядів
Метод Ейлера
Метод Рунге-кутти 4 порядку
Продемонстровані можливості пакету MathCad, показані розбіжності рішень різними методами.
В ході проведення роботи було виявлено, що найбільш точні рішення виходять при використанні методу Рунге-кутти 4 порядку і методу Ейлера. Найвищою точністю володіє метод Рунге-кутти 4 порядку точності.
Список використаних джерел
Казанцева Н. В. Чисельне рішення задач вищої математики з використанням програмних пакетів MathCad і MATLAB: метод. вказівки - Єкатеринбург, УрГУПС, +2009 - 56 с.
Шампайн Л. Ф., Гладвел І., Томпсон С. Рішення звичайних диференціальних рівнянь з використанням MATLAB: Навчальний посібник/Пер. з англ. І. А. Макарова.- СПб .: Видавництво «Лань», 2011. - 304с: мул.- (Підручники для вузів. Спеціальна література).
