1.8
Нехай AD - бісектриса CAB, AE - діаметр описаного близько? ABC кола (ріс.1.7,1.8). Якщо? ABC - гострокутний (рис. 1.7) і, значить, ABC lt; 900, то так як ABC=AEC =? дуги AC, а? BHA і? ECA прямокутні (BHA=ECA=900), то? BHA ~? ECA і, отже, CAO=CAE=HAB. Далі, BAD і CAD рівні за умовою, тому HAD=BAD - BAH=CAD - CAE=EAD=OAD. Нехай тепер ABC=900. У цьому випадку висота AH збігається зі стороною AB, то точка O буде належати гіпотенузі AC і тому справедливість твердження завдання очевидна.
Розглянемо випадок, коли ABC gt; 900 (рис.1.8). Тут чотирикутник ABCE вписаний в коло і, отже, AEC=1800 - ABC. З іншого боку, ABH=1800 - ABC, тобто AEC=ABH. А оскільки? BHA і? ECA - прямокутні і, значить, HAB=900 - ABH=900 - AEC=EAC, то HAD=HAB + BAD=EAC + CAD=EAD=OAD. Випадки, коли BAC і ACB - тупі розглядаються аналогічно. ?
. 4 точка жергонна
точка жергонна називається точка перетину відрізків, які з'єднують вершини трикутника з точками дотику сторін, протилежних цих вершин, і вписаною в трикутник кола.
Нехай точка O - центр вписаного кола трикутника ABC. Нехай вписана окружність стосується сторін трикутника BC, AC і AB в точках D, E і F відповідно. Точка жергонна - це точка перетину відрізків AD, BE і CF. Нехай точка O - центр вписаного кола? ABC. Нехай вписана окружність стосується сторін трикутника BC, AC і AB в точках D, E і F відповідно. Точка жергонна - це точка перетину відрізків AD, BE і CF.
Рис.1.9
Доведемо, що ці три відрізки дійсно перетинаються в одній точці. Зауважимо, що центр вписаного кола - це точка перетину бісектрис кутів? ABC, а радіуси вписаного кола OD, OE і OF? сторонам трикутника. Тим самим, маємо три пари рівних трикутників (AFO і AEO, BFO і BDO, CDO і CEO).
ріс.1.10
Твори AF? BD? CE і AE? BE? CF рівні, оскільки BF=BD, CD=CE, AE=AF, отже, ставлення цих творів одно, і по теоремі Чеви (Хай крапки A1, B1, С1 лежать на сторони BC, AC і AB? ABC відповідно. Нехай відрізки AA1 , BB1 і CC1 перетинаються в одній точці. Тоді
(обходимо трикутник за годинниковою стрілкою)), відрізки перетинаються в одній точці.
Властивості вписаного кола:
Коло називається вписаною в трикутник, якщо вона стосується всіх його сторін.
У будь трикутник можна вписати коло.
Дано: ABC - даний трикутник, О - точка перетину бісектрис, М, L і К - точки дотику окружності зі сторонами трикутника (рис. 1.11).
Довести: О - центр кола, вписаного в АВС.
ріс.1.11
Доказ. Проведемо з точки О перпендикуляри OK, OL і ОМ відповідно до сторін АВ, ВР і СА (ріс.1.11). Так як точка О рівновіддалена від сторін трикутника ABC, то ОК=OL=ОМ. Тому коло з центром Про радіуса ОК проходить через точки K, L, M. Сторони трикутника ABC стосуються цієї окружності в точках К, L, М, так як вони перпендикулярні до радіусів ОК, OL і ОМ. Значить, коло з центром Про радіуса ОК є вписаною в трикутник ABC. Теорема доведена.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.
рис.1.12
Нехай ABC даний, O - центр вписаного в нього кола, D, E і F - точки дотику окружності зі сторонами (рис.1.12). ? AEO =? AOD по гіпотенузі та катетом (EO=OD - як радіус, AO - загальна). З рівності трикутників випливає, що? OAD =? OAE. Значить AO бісектриса кута EAD. Точно також доводиться, що точка O лежить на двох інших биссектрисах трикутника.
Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний дотичній.
рис.1.13
Доказ. Нехай окр. (O; R) дана окружність (рис.1.13), пряма a стосується її в точці P. Нехай радіус OP НЕ перпендикулярний до a. Проведемо з точки O перпендикуляр OD до дотичної. За визначенням дотичній, все її точки, відмінні від точки P, і, зокрема, точка D лежать поза окружності. Отже, довжина перпендикуляра OD більше R довжини похилій OP. Це суперечить властивості похилій, і отримане протиріччя доводить твердження.
РОЗДІЛ 2. 3 чудові точки трикутника, окружність Ейлера, пряма Ейлера.
.1 Центр описаного кола трикутника
серединний перпендикуляр до відрізка називається пряма, що проходить через середину відрізка і перпендикулярна до нього.
Теорема. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Зворотно: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до нього.
Доказ. Нехай пряма m - серединний перпендикуляр до відрізка АВ, точка О - середина відрізка.
Розглянемо довільну точку М прямий m і доведемо, що АМ=ВМ. Якщо точка М з...
