вирішення
У повсякденному житті нам часто зустрічаються завдання, які мають декілька різних варіантів рішення. Щоб зробити правильний вибір, важливо не упустити жоден з них. Для цього треба вміти здійснювати перебір всіх можливих варіантів або підраховувати їх число. Завдання, що вимагають такого рішення, називаються комбінаторними. Область математики, в якій вивчають комбінаторні задачі, називається комбінаторикою. [22]
Комбінаторика виникла в XVI столітті і спочатку в ній розглядалися комбінаторні задачі, пов'язані в основному з азартними іграми. У процесі вивчення таких завдань були вироблені деякі загальні підходи до їх вирішення, отримані формули для підрахунку числа різних комбінацій.
В даний час комбінаторика є одним з важливих розділів математичної науки. Її методи широко використовуються для вирішення практичних і теоретичних завдань. Встановлено зв'язки комбінаторики з іншими розділами математики.
У початковому навчанні математики роль комбінаторних задач постійно зростає, оскільки в них закладено великі можливості не тільки для розвитку мислення учнів, але й для підготовки учнів до вирішення проблем, що виникають у повсякденному житті.
Комбінаторні задачі в початковому курсі математики вирішуються, як правило, методом перебору. Для полегшення цього процесу нерідко використовуються таблиці і графи. У зв'язку з цим вчителю необхідні певні вміння та навички вирішення комбінаторних задач.
Комбінаторика - розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, підлеглих тим чи іншим умовам, можна скласти з заданих об'єктів.
комбінаторики можна розглядати як введення в теорію ймовірностей, оскільки методи комбінаторики використовуються для вирішення багатьох імовірнісних задач, в яких мова йде про підрахунок числа можливих результатів і числа сприятливих фіналів в різних конкретних випадках.
Вибором об'єктів і розташуванням їх у тому чи іншому порядку доводиться займатися мало не у всіх областях людської діяльності.
З аналогічними завданнями, що одержали назву комбінаторних, люди стикалися в глибокій старовині. Вже кілька тисячоліть тому в Стародавньому Китаї захопилися складанням магічних квадратів, в яких задані числа розташовувалися так, що їх сума за всіма горизонталях, вертикалях і головним діагоналях була однією і тією ж. У Стародавній Греції підраховували кількість різних комбінацій довгих і коротких слів у віршованих розмірах, займалися теорією фігурних чисел, вивчали фігури, які можна скласти з частин особливим чином розрізаного квадрата і т.д.
Комбінаторні задачі виникли і у зв'язку з такими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти, кості і т.д.
Шлях освоєння способів вирішення комбінаторних задач складається з декількох етапів: спочатку вирішуються методом перебору і для запису використовуються різні способи, потім з'являються правила суми і твори і далі розглядаються деякі види комбінацій, а їх число підраховується за формулами. [22]
Правило суми: знаходження числа елементів об'єднання двох непересічних кінцевих множин. Якщо об'єкт а можна вибрати m способами, а об'єкт b - k способами (не такими як a), то вибір «або а, або b» можна здійснити m + k способами.
Наприклад: на тарілці лежать 5 яблук і 4 апельсина. Скількома способами можна вибрати один плід.
Правило твори: знаходження числа елементів декартова твори. Якщо об'єкт a можна вибратьm - способами, а об'єкт b - k способами, то пару (a, b) можна вибрати m * k способами.
Наприклад: 1. На тарілці лежать 5 яблук і 4 апельсина. Скількома способами можна вибрати пару плодів, що складається з яблук і апельсина. 2. Скільки тризначних чисел можна скласти використовуючи три цифри 7, 4 і 5.
Правила суми і твори - це загальні правила вирішення комбінаторних задач. Крім них в комбінаториці користуються формулами для підрахунку числа окремих видів комбінацій. З теоретико-множинної точки зору запис будь-якого двозначного числа - це кортеж довжини 2. Записуючи різні двозначні числа за допомогою трьох цифр ми утворюємо різні кортежі довжини 2 з повторюваними елементами. У комбінаториці такі кортежі називають розміщеннями.
