(x) на відрізку [a; b] є збереження знака похідної функції.
Графічний спосіб відділення коренів доцільно використовувати в тому випадку, коли є можливість побудови графіка функції у=f (x).
Наявність графіка вихідної функції дає безпосереднє уявлення про кількість і розташування нулів функції, що дозволяє визначити проміжки, всередині яких міститься тільки один корінь. Якщо побудова графіка функції у=f (x) викликає утруднення, часто виявляється зручним перетворити дане рівняння до еквівалентного увазі f 1 (x)=f 2 (x) і побудувати графіки функцій у=f 1 (x) і у=f 2 ( x) Абсциси точок перетину цих графіків будуть відповідати значенням коренів решаемого рівняння.
Найчастіше завдання відділення рішень графічним способом досить просто вирішується тільки для системи двох рівнянь з двома невідомими.
Для систем з великим числом невідомих (n? 3) задовільних загальних методів визначення області існування рішення немає. Тому при вирішенні СНУ ця область зазвичай визначається при аналізі розв'язуваної задачі, наприклад, виходячи з фізичного змісту невідомих.
Так чи інакше, при завершенні першого етапу, повинні бути визначені проміжки, на кожному з яких міститься тільки один корінь рівняння.
Відділення рішень дозволяє:
1) Виявити число рішень і область існування кожного з них.
) Проаналізувати можливість застосування обраного методу розв'язання СНУ в кожній області.
) Вибрати початкове наближення рішення x 0 з області його існування, так що x 0? D.
При відсутності інформації про області існування рішення СНУ вибір початкового наближення x 0 проводитися методом проб і помилок.
Методи уточнення рішень СНУ.
Уточнення цікавить рішення до необхідної точності? виробляється ітераційними методами.
Основні методи уточнення рішень СНУ отримані шляхом узагальнення ітераційних процесів, що використовуються при вирішенні одного нелінійного рівняння.
. 1 Метод ітерацій
Як і у випадку одного рівняння, метод простих ітерацій полягає в заміні вихідної системи рівнянь еквівалентною системою X =? (X), де
і побудові ітераційної послідовності X (k + 1) =? (X (k)), де k=1,2,3, ... - номер ітерації, яка при k ?? сходиться до точного рішення.
У розгорнутому вигляді формула ітераційного процесу (вираз для обчислення чергового k-го наближення рішення) має вигляд:
,
Умова закінчення розрахунку
???,
де?- Задана точність рішення;
або
Ітераційний процес сходитися до точного рішення, якщо в околиці рішення дотримуються умови збіжності:
Таким чином, для уточнення рішення СНУ методом простих ітерацій потрібно знайти таке еквівалентне перетворення в X =? (X), щоб в області існування рішення виконувалися умови збіжності.
. 1.1 Приклад рішення системи рівнянь за допомогою методу ітерацій
Вирішити систему нелінійних рівнянь з точністю до 0,003
Дана система нелінійних рівнянь:
Перепишемо дану систему у вигляді:
Побудувавши графіки даних функцій, визначимо початкові наближення.
Рис. 3
З графіка бачимо, що система має одне рішення, укладену в області D: 0 lt; x lt; 0.3;- 2.2 lt; y lt;- 1.8.
Переконаємося в тому, що метод ітерацій застосуємо для уточнення рішення системи, для чого запишемо її в наступному вигляді:
Так як
то в області D маємо
Таким чином, умови збіжності виконуються.
Обчислення виробляємо за формулами
За початкові наближення приймаємо x0=0.15 і y0=- 2
Таблиця 4
nxnynxn - 0,6sin (xn - 0,6) cosyn 00,15-2-0,45-0,435-0,4161-0,138710,16128-2,035-0,4387-0,4248-0,4477-0,149220,15077-2,0248-0,4492-0,4343-0,4385-0,146230,15382-2,0343-0,4462-0,4315-0,4471-0,14940,15098-2,0315-0,449-0,4341-0,4446-0,148250,1518-2,0341-0,4482-0,4333-0,4469-0,14960,15104-2,0333-0,449-0,434-0,4462-0,148770,15126-2,034-0,4487-0,4338-0,4468-0,148980,15105-2,0338-0,4489-0,434-0,4467-0,1489
Так як ???, де, то
Відповідь:
. 2 Метод Ньютона
Ідея методу полягає в лінеаризації рівнянь системи, що дозволяє звести вихідну задачу рішення СНУ до багаторазового розв'язання системи лінійних рівнянь.
Нехай відомо наближення xi ...
