ням нерівності з неізвесно x називаються число, при підстановки якого в цю нерівність замість x виходить правильне числове нерівність замість x виходить правильне числове нерівність.
Вирішити нерівність - означає знайти всі його рішення або показати, що їх немає.
x-x0 lt; 0 x-x0 gt; 0
Метод інтервалів для вирішення нерівностей виду A (x) lt; 0 і A (x) gt; 0і
заснований на наступному твердженні Точка x0 ділить вісь Ox на дві частини:
1) Для будь-якого x, що знаходиться праворуч від точки X0, двочлен x-x0 позитивний;
2) для будь-якого x, що знаходиться зліва від точки X0, двочлен x-x0 від'ємний.
Нехай потрібно вирішити нерівність
(X-) (X-)? ...? (X-) gt; 0; Не порушуючи спільності, покладемо
(X-) (X-) (X-) (X-) gt; 0 Тоді:
Аналогічно розмірковуючи, отримаємо, що (X-) (X-) (X-) (X-) gt; 0
для X з інтервалів і (;?), (;) (- ?;);
(X-) (X-) (X-) (X-) lt; 0 для x інтервалів, (;) (;)
Зауваження 1.
Самі числа (;), (;) не є розв'язком нерівності
(X-) (X-) (X-) (X-) gt; 0
Зауваження 2.
Безліч рішень нерівностей виду A (x)? 0 і A (x)? 0 і де,
(x)=(X-) (X-)? ...? (X-);
є об'єднання безлічі всіх рішень n? 1, n? N нерівностей A (x) gt; 0 і A (x) lt; 0 і безлічі всіх рішень рівняння A (x)=0
Зауважень 4 Якщо нерівність приведено до канонічного виду, то на крайньому правому проміжку знак + .
Зауважень 5 Знак нерівності нестрогий raquo ;: на числовій прямій корені многочлена або чисельника - зафарбовані гуртки. Коріння знаменника для строгих і нестрогих нерівностей - порожні .
Дробово-раціональні нерівності.
Визначення. Дрібно-раціональним називають нерівність виду, де і - многочлени.
На відміну від раціональних нерівностей, дрібно - раціональні можуть бути визначені не для всіх значень змінної. А саме, необхідно виключити з розгляду такі значення, при яких многочлен звертається в нуль (так як на нуль ділити не можна!).
Якщо з іншого боку подивитися очевидно, що на всіх допустимих значеннях дрібно-раціональний вираз і многочлен - твір мають однаковий знак.
інтервал математичний дробовий нерівність
2. Алгоритм рішення
Алгоритм рішення дрібно-раціонального нерівності методом інтервалів.
.Дробно-раціональний вираз перетворимо в многочлен - твір (x)=p (x)? g (x)
.Многочлен розкладаємо на Непріводімие множники:=(+ x + ... (+ x + (x- ... (x -
.Сокращаем Непріводімие множники другого порядку - квадратного тричлена,
.Откладиваем на числовій осі корені многочлена,
.Залежно від знака коефіцієнта визначаємо знаки многочлена на одержані інтервалах за правилом:
a. На крайньому правому полуінтервале (коли x gt; xl) знак многочлена збігається зі знаком коефіцієнта,
b.Перемещаемся по числової осі вліво. При проходженні чергового кореня xi знак многочлена міняємо на протилежний, якщо множник (x- має непарну ступінь (у тому числі - одиницю), і зберігаємо знак, якщо ця ступінь - парна, .Залежно від того, як розподілився знак у розглянутого нерівності, вибираємо у відповідь позитивні або негативні інтервали, .Що стосується якщо нерівність нестроге, у відповідь включаємо всі корені многочлена p (x),
e. Обов'язково виключаємо з відповіді всі корені многочлена g (x).
Приклади
Розглянемо приклади розв'язання дрібно-раціональних нерівностей.
Приклад 1. Розв'язати нерівність.
Рішення. 1. Спочатку знайдемо область допустимих значень нерівності (далі скорочено будемо писати - ОДЗ). Очевидно, що.
. Перетворимо дрібно-раціональне нерівність у раціональне:
.
3. Розкладемо на множники ліву частину отриманого нерівності:
.
4. Зауважимо, що коріння многочлена - числа - 2, 1, 4 і 7, мають кратність одиниця raquo ;, відкладемо їх на числовій осі і розставимо на отриманих інтервалах знаки нерівностей:
. Виписуємо остаточну відповідь, включаючи в нього коріння многочлена, що стояв у чисельнику і виключаючи коріння знаменника.
Відповідь:.
Увага! Для запису відповіді можна використовувати як нерівності, так і проміжки. Наприклад, дану відповідь можна записати також у вигляді:.
У наступному прикладі ми розглянемо нерівності з кратними корін...
