викривленої поверхні.
Рис.4
§2. Перша основна квадратична форма
Нам слід вивчити поверхню в нескінченно малому поблизу якої-небудь її точки М (u, v) і ми обмежимося точністю 1-го порядку. Змістити з точки М (u, v) по-небудь кривої на поверхні
u=u (t), v=v (t)
в нескінченно близьку точку М '(рис.5). Якщо прирощення параметра t при цьому буде dt, то диференціали криволінійних координат на поверхні (відмінні, взагалі кажучи, від їх збільшень) будуть
du=u (t) dt, dv=v (t) dt.
Надалі просто будемо говорити про диференціалах du, dv, що відповідають даним нескінченно малому зміщення по поверхні.
Ставлення цих диференціалів dv: du (якщо du? 0) має цілком певне значення v (t): u (t) і характеризує напрямок дотичної до шляху зсуву.
Рис.5
Обчислимо диференціал радіус-вектора r уздовж нашого кривої, що відповідає зміщенню з М в М laquo ;. За формулою dr=ru (u, v) du + rv (u, v) dv, де du=u (t) dt, dv=v '(t) dt, отримуємо:
=rudu + rvdv.
Тепер неважко вирахувати і диференціал дуги ds кривої, що відповідає того ж зміщення ММ '.
| ds |=| dr |=| rudu + rvdv |
або ds 2=dr 2=(rudu + rvdv) 2.
Розкриваючи дужки, обчислюємо скалярний квадрат в правій частині і отримуємо
ds 2=ru 2 du 2 + 2rurvdudv + rv 2 dv 2.
Вектори ru, rv, а отже, і їх скалярнмие твори суть функції від u, v залежать, лише від вибору точки М (u, v). Введемо для цих скалярних добутків скорочені позначення
Тоді попередня формула може бути переписана у вигляді
ds2=E (u, v) du2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv2.
Вираз у правій частині називається першою основною квадратичною формою на поверхні і грає в теорії поверхонь величезну роль.
Як відомо, взагалі квадратичною формою називається ціла раціональна функція (многочлен), однорідна другого ступеня. Таким чином, ця формула є квадратичною формою по відношенню до диференціалом du, dv. Що ж стосується коефіцієнтів квадратичної форми Е, F, G, то вони від du, dv не залежить, а залежать лише від вибору точки М (u, v) на поверхні, по відношенню до якої квадратична форма складена.
Значення першої квадратичної форми полягає в тому, що вона висловлює квадрат диференціала дуги ds при нескінченно малому зміщенні по поверхні. При цьому коефіцієнти квадратичної форми визначаються тією точкою М (u, v), з якої виробляється зсув, а диференціали du, dv відповідають даному зміщення з М.
Таким чином, перша квадратична форма служить нам передусім для вимірювання в нескінченно малому довжин уздовж поверхні. Але також, знаючи цю формулу, можна вимірювати кути між кривими і обчислювати на поверхні площі.
§3. Друга основна квадратична форма
Продовжимо вивчення поверхні поблизу якої-небудь її точки М. Нехай ММ '(рис.6) - одна з кривих на поверхні, що проходять через М.
Рис.6
Припустимо для простоти, що уздовж цієї кривої за параметр прийнята довжина дуги s, так що поточні координати u, v виражаються як функції s:
u=u (s), v=v (s)
і, отже,
r=r {u (s), v (s)}.
Нехай довжина дуги ММ дорівнює? s, т. е.? s є прирощення параметра s при зміщенні по кривій з М в М (вважаючи, що s зростає в цьому напрямку). Відповідне прирощення? R радіус-вектора r одно, очевидно,, так що, розкладаючи це прирощення в ряд Тейлора, можна записати
=? r=r ? s + 1/2r '(? s) 2 + ...,
де r laquo ;, r laquo ;, ... взяті в точці М. Нехай тепер? s прагне до нуля, т. е. зсув ММ береться нескінченно малим. Якщо вести дослідження з точністю 1-го порядку, то в правій частині досить прийняти до уваги лише перший доданок r '? S, збігалася c диференціалом dr. У такому випадку зсув можна вважати спрямованим по дотичній до кривої в точці М і, отже, лежачим в площині, дотичній до поверхні в М.
Перейдемо до більш глибокого вивчення поверхні в нескінченно малому, враховуючи при зміщенні по кривій ММ нескінченно малі не тільки 1-го, а й 2-го порядку. Це позначиться в тому, що в розгляд увійдуть кривизна і дотична площину кривої зсуву ММ raquo ;, яке не можна вже вважати розташованим в дотичній площині. Ми почнемо саме з оцінки ухилення від дотичної площини при зміщенні з точки дотику М в нескінченно близьку точку М 'по-небудь кривої на поверхні (рис.6).
Нехай Р буде підстава перпендикуляра, опущеного з М 'на дотичну площину. Побу...
