нь системи.
Приклад 3: Вирішити систему лінійних нерівностей
Побудуємо графіки всіх прямих на одній координатній площині (рис. 2), відзначимо півплощині. Перетин цих напівплощин і буде рішенням системи, а саме багатокутник OABCD.
Рис. 2. Крім багатокутника рішень системи, зустрічається відкрита область
1.4 Системи лінійних нерівностей (вища алгебра)
Розглянемо рішення систем лінійних нерівностей з погляду вищої алгебри.
Основні поняття. Система виду
(1)
Де,, називається системою лінійних нерівностей.
Покладемо
Систему (1) можна записати у векторній формі:
(2)
де
Позначимо через А матрицю, складену з коефіцієнтів системи (1):
Систему (1) можна записати в матричній формі:
Нехай є n-мірний арифметичне простір над полем дійсних чисел? і - його основне безліч.
Вектор з з координатами називається рішенням системи (1), якщо
.
Система (1) називається сумісною, якщо вона має хоча б одне рішення. Система (1) називається несумісною, якщо вона не має рішень.
Вектор називається ненегативним, якщо для. Ненегативний вектор називається позитивним. Якщо позитивна хоча б одна його координата.
Нерівність
(4)
Називається наслідком системи (1), якщо кожне рішення системи (1) є рішенням нерівності (4).
Нерівність виду
(5)
де називається неотрицательной лінійною комбінацією нерівностей системи (2).
ПРОПОЗИЦІЯ 1.1. Будь-яка неотрицательная лінійна комбінація нерівностей системи (2) є наслідком цієї системи.
Доказ. Нехай нерівність (5) є неотрицательная лінійна комбінація нерівностей системи (2). Нехай є будь-яке рішення системи (2),
(6)
Помноживши -е нерівність (6) на для і склавши всі ці нерівності, отримаємо
Таким чином, нерівність (5) є наслідком системи (2).
. 5 Однорідні системи лінійних нерівностей і опуклі конуси
Нехай ??- Арифметичне векторний простір над полем дійсних чисел? , ?? =, І - вектори простору ??.
Система
Називається однорідної лінійної системою нерівностей.
ВИЗНАЧЕННЯ. Непорожнє безліч векторів векторного простору ?? , Замкнутий щодо додавання і множення на невід'ємні скаляри (невід'ємні дійсні числа), називається опуклим конусом простору ??.
Приклади.
Нехай Безліч
Є опуклий конус простору. Цей конус називається полупрямой, породженої вектором
. Безліч всіх невід'ємних комбінацій системи векторів простору є опуклий конус цього простору; його ми будемо позначати через
. Нехай ?? =,?- Підпростору ?? і L - його основне безліч. Тоді L є опуклий конус простору ??.
. 6 Наслідки однорідної системи лінійних нерівностей
Для доведення теореми Мінковського необхідні наступні два леми.
ЛЕММА 1. Якщо
(3)
то нерівність
(2)
не є наслідком системи
Доказ. Ранг системи векторів позначимо через r. Припустимо, що виконується умова (3), тоді
Ранг (4)
Нехай
;
.
Розглянемо систему лінійних рівнянь
(5)
На підставі (4) укладаємо, що ранги основної і розширеної матриць системи (5) рівні. Отже, система (5) сумісна. Тому існує вектор? такий, що
Вектор? розв'язує системи (1), що не задовольняє (2). Таким чином, нерівність (2) не є наслідком системи (1).
СЛІДСТВО 1. Якщо нерівність (2) є наслідок системи (1), то
За законом контрапозиции, це твердження ...
