b> [ a , b ] і L 2 ( a , b ) стають відповідно нормованими, якщо
В В
і
Якщо покласти а = ВҐ, b = ВҐ, то квадрат цієї норми в теорії сигналів носить назву енергії сигналу.
В
оскільки така енергія виділяється на резисторі з опором в 1 Ом при напрузі x (t) на його затискачах.
Приклад. Мається трикутний імпульс тривалості t:
В
Обчислити енергію і норму сигналу.
Рішення.
В В
3. Лінійне унітарне простір
Визначення. Лінійне нормоване простір R називається унітарною, якщо в ньому введено скалярний твір, який кожній парі елементів x, y ГЋ R ставить у відповідність дійсне або комплексне число (x, y), що задовольнить умовам
1. (X, y) = (y, x) * ( * - знак комплексного сполучення);
2. (A 1 х 1 + a 2 х 2 , y) = a 1 (x 1 , y) + a 2 (x 2 , y) (a 1 , a < sub> 2 ГЋ K);
3. (X, x) Ві 0, якщо (х, х) = 0, то х = 0. br/>
В унітарній просторі норма вводиться таким чином
В
Теорема 1. Для "х, y унітарного простору R справедливо нерівність Шварца
В
Рівність має місце лише для лінійно залежних елементів.
Теорема 2. Для "х, y унітарного простору R має місце нерівність
В
Рівність має місце, якщо один з елементів х або y дорівнює нулю або, коли х = ly (l> 0).
Теорема 3. Для "х, y унітарного простору R виконується рівність паралелограма
В
Рівність має місце, якщо один з елементів х або y дорівнює нулю або, коли х = ly (l> 0).
Визначення. Два елементи х, y ГЋ R (x В№ 0, y В№ 0) називаються ортогональними, якщо (Х, y) = 0. p> Система елементів e 1 , e 2 ,. . . , E n ,. . . унітарного простору R називається ортонормованій, якщо
В
Нехай система елементів х 1 , х 2 ,. . . , Х n , . . . ортогональна ((x i , x j ) = 0, i В№ j), тоді її можна нормувати, поклавши
В
З ортонормірованності системи слід її лінійна незалежність. Зворотно - будь-яку лінійно незалежну систему можна ортонормированного. Процес ортонормірованності наступний. Якщо система елементів y 1 , y 2 ,. . . , Y n ,. . . -Лінійно незалежна, то система e 1 , e 2 ,. . . , E n ,. . ., Де
В
стає ортонормованій.
Нехай тепер f - будь-який елемент унітарного простору R, ae 1 , e 2 , ..., e n , ... - Ортонормированного система цього простору. Величина
В
носить назву коефіцієнта Фур'є, а ряд
В
носить назву ряду Фур'є. Ряд Фур'є найкращим чином апроксимує f (наближається до f). Це означає, якщо розглядати норму різниці елемента f і ряду Фур'є
В
то найменше значення норма прийме при
В В
Можна показати, що виконується нерівність
В
яке називається нерівністю Бесселя.
Приклади ортонормованих систем:
1. Система гармонійних функцій, записаних в комплексному вигляді
В
утворюють ортонормированного систему в
2. Функції
В
утворюють для m = 1, 2, 3, ... ортонормированного систему, що складається з невід'ємних функцій на відрізку [0,1].
3. Ортонормированного система функцій Уолша wal (m, x) задана на інтервалі широко використовується при дискретної обробці сигналів. Аналітичний опис функцій Уолша досить складно. Легко зрозуміти принцип побудови цих функцій з графіків
В
4. Важливий клас ортонормованих систем можна отримати за допомогою ортогоналізації функцій 1, t, t 2 , ..., t n , ... в унітарній просторі зі скалярним твором
В
де р (t) - деяка позитивна, безперервна на інтервалі [a, b] функція. Для відрізка [-1, 1] і p (t) = 1 отримуємо поліноми Лежандра; для відрізка [-1, 1] і - поліноми Чебишева першого роду; для полупрямой [0, ВҐ] і p (t) = е -t - поліном Лягерра; ​​для всієї осі (- ВҐ, ВҐ) і p (t) = е -t - поліном Ерміта і т.д.
Визначення. Лінійне метричний простір R називається повним, якщо вона містить усі граничні точки. Це означає, якщо r (х m + p , x n ) В® 0 при m В® ВҐ (x m ГЋ R), "p =, то $ х про ГЋ R таке, що lim r (x m , x o ) = 0.
m В® ВҐ
Визначення. Повне метричний простір називається простором Банаха.
Повне унітарн...
