lign="justify">
.1 Метод регресійного аналізу Взаємозв'язок між змінними величинами може бути описана різними способами. Наприклад, цей зв'язок можна описати за допомогою різних коефіцієнтів кореляції (лінійних, приватних, кореляційного відносини і.т.п.). У той же час цей зв'язок можна виразити по-іншому: як залежність між аргументом (величиною) Х і функцією У. У цьому випадку завдання полягатиме в знаходженні залежності виду або, навпаки, в знаходженні залежності виду. При цьому зміна функції залежно від змін одного або декількох аргументів називається регресією. p> Графічне вираження регресійного рівняння називають лінією регресії. Лінія регресії висловлює найкраще передбачення залежною змінною (У) із незалежним змінним (Х). Ці незалежні змінні, а їх може бути багато, носять назву предикторів.
Регресію виражають за допомогою двох рівнянь регресії, які в самому простому випадку виглядають, як рівняння прямої, а саме так:
(1)
(2)
У рівнянні (1) У - залежна змінна, а Х - незалежна змінна, а0 вільний член, а1 - коефіцієнт регресії, або кутовий коефіцієнт, що визначає нахил лінії регресії по відношенню до осей координат.
У рівнянні (2) Х - залежна змінна, а У - незалежна змінна, b0 вільний член, а b1-коефіцієнт регресії, або кутовий коефіцієнт, що визначає нахил лінії регресії по відношенню до осей.
Лінії регресії перетинаються в точці О, з координатами, відповідними середнім арифметичним значенням кореляційно пов'язаних між собою змінних Х і У. Лінія АВ, що проходить через точку О, відповідає лінійної функціональної залежності між змінними величинами Х і У, коли коефіцієнт кореляції між Х і У дорівнює. При цьому спостерігається така закономірність чим сильніше зв'язок між Х і У, тим ближче обидві лінії регресії до прямої АВ, і, навпаки, чим слабкіше зв'язок між цими величинами, тим більше лінії регресії відхиляються від прямої АВ. За відсутності зв'язку між Х і У регресії виявляються під прямим кутом по відношенню один до одного і в цьому випадку. p> Кількісне уявлення зв'язку (залежності) між Х і У (між У і Х) називається регресійним аналізом. Головне завдання регресійного аналізу полягає, власне кажучи, в знаходженні коефіцієнтів а0, b0, a1 і b1 і визначень рівня значущості отриманих аналітичних виразів (1) і (2), що зв'язують між собою змінні Х і У.
При цьому коефіцієнти регресії а1 і b1 показують, наскільки в середньому величина однієї змінної змінюється при зміні на одиницю заходи інший. Коефіцієнт регресії а1 в рівнянні (1) можна підрахувати за формулою
(3)
а коефіцієнт в рівнянні (2) за формулою (4)
(4)
де - коефіцієнт кореляції між змінними X і Y
- середньоквадратичне відхилення, підрахована для змінної X
- середньоквадратичне відхилення, підрахована для змінної.
Коефіцієнти регресії можна обчислити також без підрахунку середньоквадратичних відхилень за такими формулами
(5)
(6)
У тому випадку, якщо невідомий коефіцієнт кореляції, коефіцієнти регресії можна обчислити за такими формулами:
(7)
(8)
Порівнюючи формули (1) (обчислення) (7) і (8), бачимо, що в чисельнику цих формул стоїть одна і та ж величина:. Останнє свідчить про те, що величина, і взаємопов'язані. Більше того, знаючи дві з них - завжди можна отримати третю. Наприклад, знаючи величини і можна легко отримати:
(9)
Формула (9) досить очевидна, оскільки, помноживши, обчислений за формулою (3) на, обчислений за формулою (4), отримаємо:
В
Формула (9) дуже важлива, оскільки вона дозволяє по відомим значенням коефіцієнтів регресії і визначити коефіцієнт кореляції, і, крім того, порівнюючи обчислення за формулами (1) і (9), можна перевірити правильність розрахунку коефіцієнта кореляції, коефіцієнти регресії характеризують тільки лінійну зв'язок і при позитивній зв'язку мають знак плюс, при негативній - знак мінус.
У свою чергу вільні члени і в рівняннях регресії доведеться обчислювати за такими формулами. Для підрахунку вільного члена рівняння регресії (1) використовується формула:
(10)
Для підрахунку вільного члена рівняння регресії (2) використовується формула:
(11)
Обчислення за формулами (7), (8), (10) і (11) досить складні тому при розрахунках коефіцієнтів регресії використовують, як правило більш простий метод. Він полягає у вирішенні двох систем рівнянь. При вирішенні однієї системи знаходяться величини і і при вирішенні іншого - і. Загальний вигляд системи рівнянь для знаходження величин та такий:
(12)
Загальний вигляд системи рівнянь для знаходження величин - і такий:
(13)
У системах рівнянь (12) і (13) використовуються насту...
