механіці. У роботах Ньютона з механіки нема В«ньютоновских диференціальних рівнянь динаміки В», хоча в його математичних роботах і наведено цілий ряд результатів дослідження методів інтегрування диференціальних рівнянь. Тому не дивно, що в загальній механіці не було аналітичних методів. Створення їх було однією з найважливіших задач математики і механіки XVIII століття. Основна роль у вирішенні цього завдання належить Леонарду Ейлера.
У зв'язку з розробкою аналітичної механіки перед математиками виникли нові завдання в галузі математичного аналізу. Створення аналітичних методів настійно вимагали нові завдання самої механіки - дослідження руху матеріальної точки в середовищі із заданою інертністю (рух фізичного маятника, балістика), перехід в цьому завданні від точки до твердого тіла і т.п. Особливо необхідним був розвиток теорії малих коливань матеріальної точки, а пізніше - Системи кінцевого числа матеріальних точок за певних припущеннях про опорі середовища. Необхідність розробки теорії фізичного маятника висувалася розвитком гравіметрії та теорії фігури Землі, яке, у свою чергу, стимулювалося, зокрема, питаннями вивчення руху планет, потребами мореплавання і вищої геодезії.
У вирішенні проблеми про обертання Землі початкові результати належать Даламберу і Ейлера. Ейлер дав нову форму рівняння обертального руху твердого тіла, вживану і в наш час. Динамічні рівняння Ейлера, що визначають рух абсолютно твердого тіла, яке має одну нерухому точку, являють собою нелінійну систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку щодо ейлерових кутів П€, Оё, П†, як функцій часу.
До середини XVIII століття належить зародження нової галузі аналізу - диференціальних рівнянь в приватних похідних. Розширення досліджень у галузі математичного аналізу стимулювалося, головним чином, розвитком фізики твердого середовища і гідродинаміки. Принципову недостатність теорії звичайних диференціальних рівнянь вперше виявив Даламбер і Ейлер при вивченні малих коливань струни, закріпленої на кінцях. Вже в перших дослідженнях, пов'язаних з рівняннями нового виду, з'ясувалося, що при
Рішенні таких рівнянь можлива значно більша довільність, ніж при вирішенні будь-яких звичайних диференціальних рівнянь. Тому виникло питання про задоволенні рішень більш складним додатковим умовам. Подальші дослідження коливань неоднорідних струн, мембран, пружних стрижнів як Ейлером, так і його сучасниками вимагали знаходження спеціальних методів для рішення найпростіших змішаних задач для рівнянь гіперболічного типу другого і навіть четвертого порядку.
Проблема звучної струни мала, як відомо, досить істотне значення для розвитку всього математичного аналізу не тільки в XVIII столітті, але і в XIX. У тривалій суперечці про характері допустимих В«довільних функційВ», що входять у вирішенні рівнянь коливання струни, взяли участь майже всі найвидатніші вчені епохи: Даламбер, Ейлер, Д. Бернуллі, Лагранж. У цій суперечці отримало суттєве розвиток одне із самих основних понять аналізу - поняття функції. Поряд з проблемою коливань струн і мембран стимулюючий вплив на розвиток вчення про рівняннях в приватних похідних зробили задача гідродинаміки. На відміну від гідростатики, історія якої веде свій початок від робіт Архімеда, гідродинаміка як наука склалася лише в середині XVIII століття. Необхідність вивчення законів руху рідини диктувалася наполегливими потребами практики розрахунків потужних водяних двигунів, гідротехнічних споруд та збільшеними потребами кораблебудування. Стимулом значного прогресу гідродинаміки, досягнутого в 50-х роках XVIII століття, було також розвиток аналітичних методів динаміки матеріальної точки і системи точок.
Для вирішення основного завдання про взаємодію середовища з рухомими в ній тілами необхідно було сформулювати основні закони руху рідини. Вчені XVIII століття в цьому відношенні не мали фактично ніякого спадщини. Перші спроби Галілея проаналізувати опір повітря з кількісної сторони і результати Ньютона з вивчення опору, що чиниться рідиною рухається в ній твердого тіла, були скоєно недостатні. Необхідно було створити аналітичні методи теоретичної гідродинаміки. Рішенням цього завдання математичне природознавство зобов'язане Д. Бернуллі, Даламберу, Ейлера і Лагранжа. Перший видатний результат у цій області належить Д. Бернуллі, що опублiкував в 1738 році свою знамениту «óдродинамікиВ» [1]. Слідом за «óдродинамікиВ» Д. Бернуллі з'явився відомий трактат Даламбера В«Про рівновагу та рух рідин В»[2]. Даламбер прийшов, зокрема, до парадоксального висновку про відсутність опору при русі тіла в рідині, що явився наслідком того, що він не врахував значення всього обтікання тіла при русі. В обговоренні цього явища незабаром взяв участь Ейлер. Подальше вивчення В«парадоксу Даламбера - ЕйлераВ» сприяло залученню уваги дослідників до найважливішої проблемі гідродинаміки - проблемі обтікання тіл, що рухаються в рідині.
Основопо...
