ематики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Коли, однак, піфагорійці переконалися, що доказ існування несумірних величин бездоганно, вони зрозуміли, що їх філософія опинилася в скрутному становищі.
Піфагорійці знали тільки позитивні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установці, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим або дробовим числом, яке "виражає сутність" цієї речі. На ділі це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Відкриття несумірних відрізків знаменувало, тому початок кризи піфагорейської філософії і методологічних основ розвивається ними системи математики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних числах чисел ірраціональних, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу "все є число".
Однак цей шлях настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. У цьому випадку треба було побудувати досить сувору арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорейської математики було справою нездійсненним. Тому треба було йти по іншому шляху - по дорозі певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові і цілі числа, і намагатися будувати всю математику не так на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.
Глава II. Проблема нескінченності
У давньогрецькій філософії поняття нескінченності з'явилося вперше у матеріалістів мілетської школи. Анаксимандр (610-546 рр.. До н.е.), наступник Фалеса, вчив: матерія нескінченна в просторі і в часі; всесвіт нескінченний, число світів нескінченно. Анаксимен (546 р. до н.е. - Розквіт діяльності) говорив: вічний кругообіг матерії - це і є нескінченність.
Поняття нескінченності як математична категорія вперше з'являється у Анаксігора (близько 500-428 рр.. до н. е.). У творі "Про природу" Анаксігор писав: речі нескінченно подільні, немає останнього ступеня подільності матерії, з іншого боку, завжди є щось Найбільше, що є великим.
Нескінченність для Анаксігора - потенційна; вона існує у двох формах: як нескінченно мале і нескінченно велике. У математики точка зору Анаксагора знайшла сприятливий грунт завдяки відкриттю несумірних величин - величин, які не можуть бути виміряні будь, який завгодно малої, загальною мірою.
Демокріт (близько 560-570 рр.. до н.е.), мабуть, вивчав так звані рогоподібні кути (кути, утворені дугою кола та дотичній до неї).
Оскільки кожен роговідний кут "Менше" будь-якого прямолінійного кута, тут з'являється поняття актуально нескінченно малого. Згодом з'явилося і поняття актуальної нескінченності. p> Арістотель (384-322 рр.. до н.е.) виразно розрізняє два види нескінченності: потенційну і актуальну. Поняття актуальної нескінченності в стародавній Греції не отримало розвитку як у філософії, так і в математиці.
Поняття нескінченності піддавалося серйозній критиці з боку Зенона
Елейського (близько 490-430 рр.. до н.е.). Зенон був учнем Парменіда, глави єлейської школи. Парменід стверджував, що буття єдине, нерухомо і незмінно. Рух, зміна - це тільки видимість, обумовлена ​​недосконалістю наших органів чуття. Світ (буття) може бути пізнаний тільки розумом, але не почуттями.
Зенон Елейський висунув 45 апорії (антиномій), маючи при цьому метою розвинути і краще обгрунтувати вчення Парменіда. З цих антиномій до нашого часу дійшло лише 9. p> Заслуга Зенона Елейського в розвитку філософії і математики полягає в тому, що він виявив реальну суперечливість часу, руху і простору, а значить і нескінченність. В.І. Ленін писав, що Зенон не заперечив чуттєву достовірність руху; його цікавило питання, як виразити сутність руху в логіці понять.
Однак, Зенон останню задачу не вирішив, чи не вирішили її й інші вчені древньої Греції.
Глава III. Період Академії
3.1 Період самостійної діяльності греків
Період цілком самостійною діяльності греків в області математики починається з діяльності Платона і заснованої ним в 389 р. Філософської школи, відомої під ім'ям Академії. З цього часу подальший розвиток, якщо не всієї математики взагалі, то, безсумнівно, геометрії, зосереджується виключно в руках однієї грецької нації, яка і веде його, поки знаходить у своєму розпорядженні необхідні кошти.
Головним результатом про математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і зокрема її методології. Як відомо, його власні ...
