ю формі мають вигляд [84]
В
Тут прийнято (b/l) = 1/10, (h/l) = 1/5, де 6, А,/- розміри поперечного перетину і довжина консолі; г - поточна координата, що збігається з вертикаллю в площині вигину балки.
Обчислюючи відносини максимальних значень а і т до висот перерізів для кожної з геометрично подібних балок 1 і 2, за допомогою формул (3.8) знайдемо
В
В
Тобто епюри нормальних і дотичних напруг для зразків 1 і 2 можна поєднати між собою тільки шляхом нерівномірного деформації в ортогональних напрямах а - г або v - г (рис. 3.1). Це свідчить про афінності геометричних образів полів напружень АІТ (3.8) при механічному подобі балок.
нестаціонарні полем фізичної величини Qj називається сукупність миттєвих значень цієї величини у всіх точках даного простору або об'єму.
Для нестаціонарних задач поле змінної Qj на відміну від (3.2) має вигляд
В
В
Аналогічно тому, як це було зроблено для стаціонарного поля, можна показати, що в подібних точках подібних нестаціонарних полів у подібні моменти часу безрозмірні координати і безрозмірні фізичні змінні відповідно рівні.
Крім того, геометричні відображення подібних нестаціонарних полів у подібні моменти часу володіють властивостями афінності і можуть бути суміщені між собою шляхом нерівномірної деформації.
Закінчуючи розгляд подібності стаціонарних і нестаціонарних фізичних полів, зупинимося на властивостях інваріантності безрозмірних рівнянь, що описують подібні фізичні поля.
Розглянемо з цією метою рівняння полів двох механічно подібних систем 1 і 2 (3.3). Згідно з П-теореми аналізу розмірностей, кожне з цих рівнянь завжди може бути перетворено до безрозмірною (критеріальною) формі, що містить в якості нових змінних безрозмірні комбінації основних параметрів
В
Тут k = п - г; г - ранг матриці розмірностей змінних Qj.
Так як об'єкти 1 і 2 механічно подібні, для безрозмірних комбінацій П /, що представляють собою критерії подібності, мають місце рівності
В
Згідно з умовами подібності (3.11) ліві частини рівнянь (3.10) рівні між собою. Крім того, попарно рівні також подібні аргументи функцій Q г і Q 2 .
Оскільки рівність лівих частин рівнянь (ЗЛО) повинно виконуватися при будь-яких значеннях визначальних критеріїв подібності, функції в х і в 2 - тотожне однакові:
В
Таким чином, безрозмірні критеріальні) рівняння фізичних полів тотожне збігаються між собою, якщо відповідні їм об'єкти 1 і 2 задовольняють умовам механічного подоби.
В§ 2. Масштабні перетворення алгебраїчних і диференціальних рівнянь. Теореми подоби
Досі питання подібності явищ обговорювалися нами з позицій аналізу розмірностей фізичних величин. Перейдемо до розгляду умов подібності, виходячи з аналізу фізичних рівнянь процесу.
Будемо вважати відомими рівняння або систему диференціальних рівнянь з відповідними граничними і початковими умовами, які повністю визначають даний механічний процес або явище.
Припустимо спочатку, що рішення розглянутої системи диференціальних рівнянь відомо і може бути "Представлено у формі одного або декількох кінцевих співвідношень між змінними:
В
Тут величини Qj (/ = 1, 2, п) включають незалежні змінні, шукану функцію і решта основні параметри деякого рішення В«sВ».
Будь-яке інше рішення цієї ж завдання, подібне вирішення (3.12), визначається як результат подібного перетворення змінних Qj по формулами
В
Так як подібні явища, відповідні рішеннями (3.14) і (3.12), належать до одного класу, перетворення змінних за формулами (3.13) не повинно змінювати виду функції F. Отже, з'ясування умов подібності даних явищ може бути зведене до дослідження умов інваріантності рівнянь (3.12), (3.14) по відношенню до перетворень подібності (3.13).
З цією метою розглянемо можливі варіанти перетворень (3.13) при різному виборі масштабів kj.
Якщо множники kj вибираються довільними без яких би то не було обмежень, рівнянням (3.12) і (3.14) можна одночасно задовольнити за умови
В
Згідно цій умові функція (3.12) повинна володіти такою особливою властивістю, коли подібне перетворення окремих змінних Qj призводить до подібного перетворенню функції F в цілому. Залежності виду (3.12), задовольняють умовам (3.15), належать до так званих гомогенним (однорідним) функціям г .
В
Таким чином, при довільних масштабах kj властивостями інваріантності до подібних або, як часто говорять, до масштабних перетворень володіють лише гомогенні функції F.
У роботі 131] показано, що умови (3.15) обмежують залежності (3.12) класом статечних комплексів
В
З огляду на те, що обмеження (3.15) є на...
