дмірно жорстким, а функції (3.16) не є настільки універсальними, щоб описати будь механічний процес, розглянемо питання про інваріантності рівняння (3.12) по відношенню до подібних перетворень (3.13) у видозміненій постановці. Для цього відмовимося від припущення про довільності множників kj і будемо шукати такі обмеження на вибір масштабів у формулах (3.13), які забезпечують збереження виду функції F при виконанні перетворень подібності.
Не зупиняючись на доказі, вкажемо, що для збереження властивості інваріантності рівняння (3.12) до групи подібних перетворень (3.13) необхідно зажадати виконання
В
Як приклад складання умов інваріантності (3.17) для кінцевих (алгебраїчних) рівнянь розглянемо елементарний приклад про навантаженні консольної балки зосередженою силою і моментом.
Нехай два геометрично подібних бруса 1 і 2 прямокутного поперечного перерізу мають розміри /, b, h (рис. 3.2). Параметри зразків 1 і 2 будемо постачати відповідними нижніми індексами.
Кожен із зразків перебуває під дією зосереджених сил Р і моментів М у прикладених в подібних точках 2?! і В 2 з координатами х г - l l9 у г = 0, м г = О і х 2 =/ 2 , У'= О, 2а = 0.
Аналогом рівнянь (3.12) для розглянутого прикладу є вирішення задачі опору матеріалів про напружено-деформований стан бруса для довільної точки А г у формі [84]
В
В
Однойменні рівняння у формулах (3.19) і (3.20) володіють важливою властивістю. У тому випадку, якщо масштаби kj (1 0 , <у 0 > Щ * Ео> 8 о> Л В»М 0 ) НЕ є довільними, а обрані з умов (3.21), зазначені рівняння для зразків 1 і 2 будуть однаковими.
Таким чином, виконання умов (3.21) забезпечує інваріантність рівнянь (3.18) по відношенню до подібних перетворень (3.19). Згідно з методом дослідження подібності, заснованому на масштабних перетвореннях фізичних рівнянь в кінцевій формі, дві геометрично подібні системи вважаються механічно подібними, якщо рівняння, що описують ці системи, тотожне збігаються.
Можна показати, що в загальному випадку умови (3.17), що забезпечують інваріантність фізичних рівнянь, можуть бути перетворені в критерії подібності механічних станів або процесів, описуваних рівняннями (3.12) [+311.
В
індикатори подібності в різній математичній формі висловлюють одні і ті ж умови механічної подібності двох об'єктів - моделі і натури.
Перейдемо до вивчення подібних перетворень фізичних рівнянь, що містять диференціальні оператори та змінні під знаком інтеграла. Особливості аналізу подібності явищ, описуваних диференціальними і інтегральними рівняннями, пов'язані з масштабними перетвореннями зазначених операторів.
В
Враховуючи цю аналогію між індикаторами подібності диференціальних та алгебраїчних виразів, слід укласти, що при освіті індикаторів подібності для операторів диференціальних рівнянь знаки диференціалів можна опустити, розглядаючи диференціали як кінцеві прирощення змінних.
У процесі подібних перетворень інтегральних рівнянь слід виходити з осредненних фізичних величин. Наприклад, в подібних точках об'єктів В«6> іВ« s В»однойменні величини ставляться як (Qj) t/(Qj) s = Kj. Це співвідношення залишається справедливим і для величин, осредненних за площею /.
В
Отримане рівність kj = kj підтверджує можливість складання індикаторів подібності для інтегральних операторів з осредненних величин таким же шляхом, як вони знаходяться для локальних значень змінних.
Таким чином, операції диференціювання та інтегрування у фізичних рівняннях не змінюють умов подібності механічних станів і процесів [76].
Як приклад масштабних, перетворень фізичних рівнянь, що містять диференціальні оператори, розглянемо рівняння крайової задачі про вигин консольної балки (см /, рис, 3.2) для об'єкта 1 [84]:
В
Рішення системи диференціальних рівнянь (3.22) у формі кінцевих співвідношень (3.18) було використано вище для приклад подібних перетворень алгебраїчних рівнянь.
Введемо масштаби для всіх змінних і постійних величин, що входять в диференціальні рівняння і крайові умови (3.22):
В
Замінюючи всі фізичні величини в рівняннях вигину балки об'єкта 2 через змінні з індексом 1 за формулами (3.23) і враховуючи правила масштабних перетворень диференціальних операторів, отримаємо при 1 0 Ф О, про 0 Ф О, Р 0 Ф Про
В
Результати масштабних перетворень крайової задачі для диференціальних рівнянь (3.22) і для інтеграла цих же рівнянь (3.18) в алгебраїчній формі підтверджують висновок про незалежність умов механічної подібності від операторів диференціювання у фізичних рівняннях.
