2 + q 2 . (6) br/>
Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел можна отримати за формулами
х = 2pq, у = p ВІ-q ВІ, z = p 2 + q 2 , br/>
де m і n - цілі взаємо прості кількості. Всі інші його натуральні рішення мають вид:
x = 2kpq, y = k (p ВІ-q ВІ), z = k (p 2 + q 2 ),
де k-довільне натуральне число. Тепер розглянемо таку задачу: дано довільне натуральне число m> 2; чи існує пифагоров трикутник, одна зі сторін якого дорівнює m? Якщо зажадати, щоб задану довжину m мав катет, то для будь-якого m відповідь позитивна. Доведемо це. Нехай спочатку m-непарне число. Поклавши p = m +1/2, q = m-1/2. Отримуємо пифагорову трійку
х = 2pq = mВІ -1/2,
у = P ВІ-q ВІ = m,
z = P 2 + q 2 = mВІ +1/2. br/>
У випадку парного m позначимо m = 2t. У свою чергу t може бути парним або непарних. Для парного t покладемо p = t, q = 1, звідки відповідний трикутник має боку
х = 2pq = 2t = m,
у = P ВІ-q ВІ = t ВІ -1 = mВІ/4-1,
z = P 2 + q 2 = t ВІ +1 = mВІ/4 +1.
Якщо ж t-парне число, то візьмемо p = t +1/2, q = t-1/2. Випишемо пифагорову трійку, що відповідає цим значенням p і q: 2pq = t ВІ -1/2, p ВІ-q ВІ = t = m/2, p 2 + q < sup> 2 = t ВІ +1 = mВІ/4 +1. Щоб отримати боку шуканого трикутника, треба ще помножити ці числа на 2: x = t ВІ -1 = mВІ/4-1, y = 2t = m, z = t ВІ +1 = mВІ/4 +1. У виду рівноправності катетів отримана трійка та ж, що й у випадку парного t. p> Наведемо приклади. Для m = 7 маємо трикутник з катетами x = 24, y = 7 і гіпотенузою z = 25. У випадку m = +3 трійка (4,3,5) задає найменший пифагоров трикутник. Цей трикутник називається єгипетським. Складніше з'ясувати, для яких натуральних m існує пифагоров трикутник з гіпотенузою m. Так як m в цьому випадку повинна бути кратна числу z = p 2 + q 2 , де p і q мають різну парність, то необхідно знайти вид чисел z> 2, експонованих у вигляді суми квадратів різної парності. Позначимо p = 2r, q = 2s +1, тоді p 2 + q ВІ = 4 (r ВІ + s ВІ + s) +1. Значить число z має вигляд 4t +1. Однак не всяке число виду 4t +1 розкладається на суму двох квадратів. Нарімер, число 9 = 4 * 2 +1 так розкласти неможливо. Але якщо число 4t +1 просте. то воно представимо у вигляді суми двох квадратів, причому єдиним способом. Число виду 4t +1 можна записати у вигляді суми двох квадратів лише у двох випадках: коли воно є твором числа того ж виду на квадрат натурального і коли воно дорівнює добутку простих чисел типу 4t +1. p> Отже, пифагоров трикутник з заданой гіпотінузой m існує тільки за умови, що в канонічному розкладанні числа m зустрічається простий множник виду 4t +1.
Розглянемо приклади.
1. Нехай m = 17 (тут 17 = +4 Г— 4 +1). З рівності 17 = 4 ВІ +1 ВІ знаходимо p = +4, q = 1, x = 2pq = 8, y = p ВІ-q ВІ = 15. Трійка (8,15,17) задає пифагоров трикутник. p> 2. У разі m = 65 маємо 65 = 5 Г— 13 = 5 (4 Г— 3 +1). Так як 13 = 3 ВІ +2 ВІ, то p = 3, q ​​= 2, 2pq = 12, p ВІ-q ВІ = 5, p 2 + q ВІ = 13. Для відшукання потрібної нам трійки помножимо ці числа на 5 і отримаємо (60,25,65). Число 65можно прідставіть інакше: 65 = 13 (4 Г— 1 +1), +5 = 2 ВІ +1 ВІ, звідки p = 2, q = 1, 2pq = 4, p ВІ-q ВІ = 3, p 2 + q ВІ = 5. Маємо ще один трикутник з гіпотенузою 65. Це (52,39,65). p> 3. Числа 9 і 49 не можуть виражати довжину гіпотенузи пифагорова трикутника. Хоча 9 = 4 Г— 2 +1 і 49 = 4 Г— 12 +1. Але їх прості множники не подаються у вигляд 4t +1. p> Діофант у вигадуванні В«АрифметикаВ» займався розшуком раціональних (необов'язково суцільних) рішень спеціальних видів рівнянь. Загальна теорія рішення Діофантових рівнянь 1-го ступеня була створена в 17 столітті. До початку 19 століття працями П. Ферма, Дж. Віллса, Л. Ейлера, Ж. Лагранжа і К. Гауса в основному було досліджено діофантових рівнянь виду
ax ВІ + bxy + cy ВІ + dx + ey + f = 0, br/>
де а, b, c, d, e, f-цілі числа, тобто загальне неоднорідне рівняння 2-го ступеня з двома невідомими. p> Перейдемо тепер до однієї з найзнаменитіших завдань диофантова аналізу, що отримала назву Великої теореми Ферма. Почнемо з історії виникнення цієї теореми. На полях В«АрифметикиВ» Діофанта проти того місця, де розглядається рівняння х 2 + у 2 = z ВІ, П. Ферма (бл. 1630) написав: В«Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куба, ні біквадрат на два біквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я відкрив "цьому воістину чудесний доказ, але ці поля для нього занадто малі В». Так народилася ця чудова теорема. У ній стверджується, що
<...
