іналом, або просто оригіналом; в додатках часто зручно трактувати змінне t як час. Функція F (p) = L [f], (р) називається також перетворенням Лапласа оригіналу f (t) або зображенням по Лапласа. Інтеграл (6) розуміється, взагалі кажучи, як умовно збіжний на нескінченності. p> Апріорі можливі три випадки:
1) існує дійсне число таке, що інтеграл (6) сходиться при, а при - розходиться; це число Пѓ з називається абсцисою (умовної) збіжності;
2) інтеграл (6) сходиться при всіх р, в цьому випадку вважають;
3) інтеграл (6) розходиться при всіх р, в цьому випадку вважають
Якщо, то інтеграл (6) представляє однозначну аналітичну функцію F (p) у півплощині збіжності. Зазвичай обмежуються розглядом абсолютно сходяться інтегралів (6). Точна нижня грань тих s, для яких існує інтеграл, називається абсцисою абсолютної збіжності
Якщо а - є нижня грань тих s, для яких число а іноді називають показником зростання оригіналу f (t).
При деяких додаткових умовах оригінал f (t) однозначно відновлюється за своїм F (p) . Наприклад, якщо f (t) має обмежену варіацію в околиці точки t 0 або якщо f (t) кусочногладкая, то має місце формула звернення перетворення Лапласа:
(8)
Формули (6) і (8) дозволяють отримати ряд співвідношень між операціями, що здійснюються над оригіналами і зображеннями, а також таблицю зображень для часто зустрічаються оригіналів. Все це становить елементарну частину операційного обчислення.
У математичної фізики важливі застосування знаходить багатовимірне перетворення Лапласа:
(9)
де t = ( t 1 , ...... , t n )
-точка re-мірного Евклідова простору
R n , p = ( p 1 , ......, p n ) = Пѓ + iП„ = ( Пѓ 1 , ......, Пѓ n ) + (П„ 1 , ......, О¤ n )
В
-точка комплексного простору
C n , n ≥ 1, ( p , t ) = ( σ , t ) + i ( τ , t ) = p 1 t 1 + ... + p n t n
В
-скалярний твір, dt = dt 1 ... < i> dt n - елемент обсягу в R n . Комплексна функція f (t) в (9) визначена і локально суммируема в області інтегрування
В
-позитивному координатному вугіллі простору R n . Якщо функція f (t) обмежена в C * , то інтеграл (9) існує в усіх точках задовольняють умові Re ( p , t ) > 0 ,, яке визначає знову позитивний координатний кут
В
Інтеграл (9) визначає голоморфних функцій комплексних змінних p = ( p 1 , - p n ) в трубчастої області простору з основою S. У більш загальному випадку в якості області інтегрування в (9) і підстави Sтрубчатой ​​області можна взяти будь-яку пару сполучених замкнутих опуклих гострих конусів в просторі з вершиною на початку координат. При n = 1 формула (9) переходить в (6), причому - позитивна піввісь і - права напівплощина. Перетворення Лапласа (9) визначено і голоморфних і для функцій f (t) набагато ширших класів. Елементарні властивості перетворення Лапласа з відповідними змінами залишаються справедливими і для багатовимірного випадку.
Чисельне перетворення Лапласа - чисельне виконання перетворення (6), переводящего оригінал f ( t ), 0 < t <в€ћ в зображення F (p) , , а також чисельне звернення перетворення Лапласа, тобто чисельне знаходження f (t) з інтегрального рівняння (6) або за формулою звернення (8).
Необхідність застосування чисельного перетворення Лапласа виникає внаслідок того, що таблиці оригіналів і зображень охоплюють далеко не всі зустрічаються в практиці випадки, а також внаслідок того, що оригінал або зображення найчастіше виражаються занадто складними, незручними для застосувань формулами.
Проблема звернення перетворення Лапласа, як завдання відшукання рішення f (x) інтегрального рівняння першого роду (6), відноситься до класу некоректних задач і може бути вирішена, зокрема, за допомогою регулярізірующіх алгоритму.
Задачу чисельного звернення перетворення Лапласа можна також вирішувати методами, заснованими на розкладанні функції-ори...
