= а) = р.
В
Малюнок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b В® a +0.
P (x = а) =.
Найбільш ВАЖЛИВО типами Випадкове величин є діскретні и неперервні віпадкові величини, Які будут розглянуті більш докладно.
2 Дискретна Випадкове величина
Випадкове величина назівається дискретності, ЯКЩО ее Можливі значення можна перенумеруваті.
Нехай х 1 , х 2 , ..., х n - Можливі Значення діскретної віпадкової величиною в порядку ЗРОСТАННЯ. p> Віпадкові події [x = x 1 ], [x = x 2 ], ... [x = x n ] утворять повну систему Елементарна подій. При цьом
,
Закон розподілу діскретної віпадкової величини можна Задати таблицею (табл. 1) чі геометрично - крапками на площіні (x i , p i ); або Ламанов, что з'єднує ці точки та назівається багатокутніком розподілу (рис. 8):
В
Малюнок 8
цьом законом розподілу є відповідною функція розподілу
F x (x) = P (x
або
В
де
В
ЇЇ графік наведено на рис. 9
В
Малюнок 9
Як видно з рис. 9, функція розподілу діскретної віпадкової Величини є кусково неперервно. У точці х i вона зростає на величину. При цьом
.
3 Найважлівіші закони розподілу дискретних Випадкове величин
Біноміальній Розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з якіх Подія А відбувається або НЕ відбувається. Ймовірність появи події А в кожному віпробуванні Постійна и НЕ покладів від результатів других випробувань. Це схема Бернуллі:
Р (А) = р;.
Як Випадкове величину, якові позначімо, розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Чи не Важко перевіріті, что ймовірність появи події візначається формулою Бернуллі у вігляді
; (1)
де - кількість сполучень з ЕЛЕМЕНТІВ по (1).
Відповідній цїй Формулі закон розподілу віпадкової Величини назівається біноміальнім, ТОМУ ЩО его КОЕФІЦІЄНТИ збігаються з коефіцієнтамі членів розкладання бінома Ньютона (p + q) n (Табл. 4). br/>
Таблиця 4
x n
0
1
...
k
...
n
p n
q n
npq n-1
...
В
...
p n
В
Розподіл Пуассона. Если в біноміальному розподілі віпадкової Величини кількість випробувань и НАСЛІДКІВ Дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) становится обтяжлівім у зв'язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьом випадка Було ОТРИМАНО Наслідки формули Бернуллі, один з якіх Полягає у Наступний.
Нехай кількість випробувань необмежено зростає, альо так, щоб ее добуток на ймовірність появи події A в шкірному віпробуванні, тоб, залишавсь скінченою величиною порядку одініці. Це передбачає Дуже мале Значення ймовірності, отже розглядаються Дуже Рідкі події та Дуже Довгі Серії випробувань. При формалізації відзначеніх умів у Формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі
В
або остаточно отріматі формулу Пуассона для ймовірності появи разів Дуже рідкої події A у практично нескінченніх випробуваннях
В
Розподіл віпадкової величина за цією формулою назівається законом Пуассона (законом рідкісніх подій). Число l назівається параметром розподілу. Цею закон можна податі у вігляді:
Таблиця 5
x
0
1
...
k
...
p
e - l
le - l
...
В
...
Розглянемо типові завдання, что призводити до розподілу Пуассона. Нехай Подія А означає відмову складного прилаштую ПРОТЯГ малого проміжку годині. Причиною відмові є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою НЕ змінюється з годиною, відмова окрем деталей відбувається Незалежності одна від одної, причому за одиницю часу "в СЕРЕДНЯ "відбувається l відмовлень.
При ціх допущених з великим ступенів точності віконуються Такі умови:
1. Ймовірність появи відмові на проміжку годині (0, Т) така сама, як и...
