ТЕМА
В
Випадкове КУМУЛЯТИВНА
1 випадкове величина. Функція розподілу віпадкової розмірів
Зіставімо шкірно Елементарна подію конкретного випробування з Деяк числом. Наприклад, розглянемо випробування, что Полягає в підкіданні монети. Маємо простір елементарних подій - множини з двох можливіть Рівно ймовірніх НАСЛІДКІВ випробування: w 1 - віпадання "решки" та w 2 - віпадання герба. Введемо до РОЗГЛЯДУ функцію x = f (w), что візначається за формулами: f (w 1 ) = 0, f (w 2 ) = 1. Це - числова функція (випадкове величина), яка поклади від випадка. Позначімо ее через:
В
для значень, якіх у результаті випробувань может Рівно ймовірно набуваті функція, застосуємо символи та. Відповідно з Нашою угідь, смороду дорівнюють
и
У загально випадка задовільної віпадкової Величини позначатімемо ее однією з грецьк літер x, h, ..., а значення, якіх вона набуває літерами латинської абетки: х, y, ..... Відповідність между цімі значень та ймовірностямі, з Якими їх набуває така функція, ЗРУЧНИЙ Задати у вігляді табл. 1, что назівається законом розподілу діскретної віпадкової величин:
Таблиця 1
В В В В
...
В В В В В
...
В
У випадка зазначеної конкретної віпадкової величини, пов'язаної з віпадінням СТОРІН підкінутої монети, табл. 1 конкретізується у вігляді табл. 2:
Таблиця 2
В
0
1
В
1/2
1/2
Цю закономірність можна такоже наочно представіті на площіні xOy, розмістівші на горізонтальній осі значення І, а на вертікальній осі, что доцільно Було перемістіті з ее традіційного положення - відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьом графік Функції Складається Тільки з двох точок (,) і (,). У других точках горізонтальної осі функція взагалі принципова НЕ Визначи. p> Ще більш наочно закон розподілу діскретної віпадкової Величини зображається спеціфічною функцією
В
что назівається функцією розподілу віпадкової величину.
В
Рисунок 1
У відповідності з ее визначеня, вона Дає в точці x ймовірність того, что Випадкове величина розташована на осі Ox Зліва від цієї точки x. Зокрема, для віпадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має Складний вигляд Із різнімі представлених на різніх інтервалах
В
На рис. 2 наведено ее графік з двома неусувнімі розрівамі 1-го роду.
В
Малюнок 2
Розглянемо ще один приклад Введення віпадкової величину. Нехай є мішень - коло радіуса а, влучення до Якого гарантовано. Як Випадкове величину, что позначімо як, візьмемо відстань від центру мішені до точки влучення. Ймовірність того, что ця Випадкове величина набуває різніх значень r від нуля до а, обчіслюється за формулою геометрічної ймовірност:
В
При цьом функція розподілу
В
графік Якої зображено на рис. 3, має вигляд
В
В
Малюнок 3
Модіфікуємо Попередній приклад: нехай всередіні кола радіуса а, влучення до Якого гарантовано, проведено два концентрічні кола (рис. 4) з радіусамі a/3 и 2a/В залежності від відстані точки влучення від центру мішені стрілець одержує 10, 5 чі 1 бал, відповідно.
В
Малюнок 4
За випадкове величину, что позначімо як, візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Ее Можливі значення: 10, 5, 1. Обчіслімо ймовірності віпадків Прийняття ціх значень величин
,
,
В
При цьом закон розподілу віпадкової Величини має вигляд табл. 3:
Таблиця 3
В
1
5
10
В
5/9
1/3
1/9
За ЦІМ законом розподілу віпадкової Величини знаходимо функцію ее розподілу та будуємо ее графік (рис. 5).
В
В
Малюнок 5
Властивості Функції розподілу:
1. F (x) - неубутна функція. Дійсно, ЯКЩО x 1 2 (рис. 6).
В
Малюнок 6
F (x 1 ) 2 );
2. F (+ ВҐ) = 1; F (- ВҐ) = 0; F (+ ВҐ) = P (x <ВҐ) = 1;
P (- ВҐ
P (a ВЈ x x (b) - F x (a ).
Если функція розподілу в деякій точці x = а має неусувній розрив 1-го роду - Стрибок на величину р, (рис. 7) то Р (x ...
