У Засадах викладаються планіметрия, стереометрія, арифметика, відносини по Евдоксу. У класичній реконструкції Гейберга весь праця складається з 13 книг. До них традиційно приєднують дві книги про п'ять правильних многогранниках, приписувані Гіпсіклу Олександрійському та школі Ісидора Мілетського. p> Виклад в Засадах ведеться строго дедуктивно. Кожна книга починається з визначень. У першій книзі за визначеннями йдуть аксіоми і постулати. Потім слідують пропозиції, які діляться на завдання (в яких потрібно щось побудувати) і теореми (в яких потрібно щось довести). Визначення, аксіоми, постулати та пропозиції пронумеровані, напр., I def. 2 - друге визначення першої книги.
Перша книга
1. Перша книга починається визначеннями, з яких перші сім (I def. 1-7) свідчать: Крапка є те, що не має частин. p> 2. Лінія - довжина без ширини. p> 3. Краї ж лінії - точки. p> 4. Пряма лінія є та, яка однаково лежить на всіх своїх точках. p> 5. Поверхня є те, що має тільки довжину і ширину. p> 6. Краї ж поверхні - лінії. p> 7. Плоска поверхня є та, яка однаково лежить на всіх своїх лініях.
Коментатори епохи Відродження воліли говорити, що точка є місце без протягу. Сучасні автори, навпаки, визнають неможливість визначення основних понять, і Давид Гільберт починає В«Підстави геометріїВ» так:
Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками і позначаємо
В
За визначеннями Евклід приводить постулати (I post. 1-5):
1. Від усякої точки до всякої точки можна провести пряму. p> 2. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій. p> 3. З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло. p> 4. Усі прямі кути рівні між собою. p> 5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.
За постулатами слідують аксіоми (I ax. 1-9), які мають характер загальних тверджень, що відносяться в рівній мірі як до чисел, так і до безперервним величинам:
1. Рівні одному і тому ж рівні і між собою. p> 2. І якщо до рівних додаються рівні, то й цілі будуть рівні. p> 3. І якщо від рівних віднімаються рівні, то залишки будуть рівні. p> 4. (І якщо нерівним додаються рівні, то цілі будуть не рівні.) p> 5. (І подвоєні одного і того ж рівні між собою.) p> 6. (І половини одного і того ж рівні між собою.) p> 7. І суміщають один із одним рівні між собою. p> 8. І ціле більше частини. p> 9. (І дві прямі не містять простору.) h1> Аксіома паралельності Евкліда
Аксіома паралельності Евкліда , або п'ятий постулат - одна з аксіом, що лежать в підставі класичної планіметрії. Вперше наведена в "Засадах" Евкліда:
В
Евклід розрізняє поняття постулат і аксіома , не пояснюючи їх відмінності; в різних манускриптах "Начал" Евкліда розбиття тверджень на аксіоми і постулати різному, так само як не співпадає та їх порядок. У класичному виданні В«ПочавВ» Гейберга сформульоване твердження є п'ятим постулатом.
На сучасній мові текст Евкліда можна переформулювати так:
Якщо сума внутрішніх кутів із загальною стороною, утворених двома прямими при перетині їх третьої, з однієї із сторін від січної менше 180 В°, то ці прямі перетинаються, і притому за ту ж сторону від січної.
П'ятий постулат надзвичайно сильно відрізняється від інших постулатів Евкліда, простих і інтуїтивно очевидних (див. Почала Евкліда). Тому протягом 2 тисячоліть НЕ припинялися спроби виключити його зі списку аксіом і вивести як теорему. Всі ці спроби закінчилися невдачею. В«Ймовірно, неможливо в науці знайти більш захоплюючу та драматичну історію, ніж історія п'ятого постулату Евкліда В». Незважаючи на негативний результат, ці пошуки не були даремні, тому що в кінцевому рахунку призвели до повного перегляду наукових уявлень про геометрію Всесвіту.
Еквівалентні формулювання постулату про паралельні
У сучасних джерелах зазвичай наводиться інша формулювання постулату про паралельних, еквівалентна (рівносильна) V постулату і належить Проклу (за кордоном її часто називають аксіомою Плейфера):
В
У площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.
У цьому формулюванні слова В«одну і тільки однуВ» часто замінюють на В«тільки однуВ» або В«не більше однієї", так як існування хоча б однієї такої паралельної відразу випливає з теорем 27 і 28 В«ПочавВ» Евкліда. p> Взагалі у V постулату є величезна кількість еквівалентних формулювань, багато з яких здаються досить очевидними. Ось деякі з них:
В§ Існує прямокутник ( хоча б один ), тобто чотирикутник, у якого всі кути прямі.
В§ Існують подібні, але не
В§ Будь-яку фігуру можна пропорційно збільшити. p> В§ Існує трикутник як завгодно великої пл...
