ощі. p> В§ Пряма, через точку всередині кута, перетинає по крайней заходу одну його сторону ( аксіома Лоренца , 1791).
В§ Через кожну точку всередині гострого кута завжди можна провести пряму, що перетинає обидві його сторони.
В§ Якщо дві прямі в одну сторону розходяться, то в іншу - зближуються. p> В§ Сближающиеся прямі рано чи пізно перетнуться. p> В§ Варіант: перпендикуляр і похила до однієї і тієї ж прямий неодмінно перетинаються (аксіома Лежандра).
В§ Точки, рівновіддалені від даної прямої (за одну її сторону), утворюють пряму,
В§ Якщо дві прямі почали зближуватися, то неможливо, щоб вони потім почали (в ту ж сторону, без перетину) розходитися ( аксіома Роберта Сімсона , 1756). p> В§ Сума кутів однакова у всіх трикутників. p> В§ Існує трикутник, сума кутів якого дорівнює двом прямим. p> В§ Дві прямі, паралельні третій, паралельні і один одному ( аксіома Остроградського , 1855). p> В§ Пряма, що перетинає одну з паралельних прямих, неодмінно перетне й іншу.
В§ Через будь-які три точки можна провести або пряму, або коло. p> В§ Варіант: для всякого невиродженого трикутника існує описана окружність ( аксіома Фаркаша Бойя ).
В§ Справедлива теорема Піфагора. p> Еквівалентність їх означає, що всі вони можуть бути доведені, якщо взяти V постулат, і навпаки, замінивши V постулат на будь-яке з цих тверджень, ми зможемо довести вихідний V постулат як теорему.
Якщо замість V постулату допустити, що для пари точка-пряма V постулат хибний, то отримана система аксіом буде описувати геометрію Лобачевського. Зрозуміло, що в геометрії Лобачевського всі перераховані вище еквівалентні твердження невірні.
Система аксіом сферичної геометрії вимагає зміни також і інших аксіом Евкліда ..
П'ятий постулат різко виділяється серед інших, цілком очевидних, він більше схожий на складну, неочевидну теорему. Евклід, ймовірно, усвідомлював це, і тому перші 28 пропозицій в В«ЗасадахВ» доводяться без його допомоги. p> В«Евкліду безумовно повинні були бути відомі різні форми постулату про паралельні В». Чому ж він вибрав наведену, складну і громіздку? Історики висловлювали різні припущення про причини такого вибору. В.П. Смілга вважав, що Евклід таким формулюванням вказував на те, що дана частина теорії є незавершеною. М. Клайн звертає увагу на те, що п'ятий постулат Евкліда має локальний характер, тобто описує подію на обмеженій ділянці площині, у той час як, наприклад, аксіома Прокла стверджує факт паралельності, який вимагає розгляду всієї нескінченної прямій. Треба пояснити, що античні математики уникали використовувати актуальну нескінченність; наприклад, другий постулат Евкліда затверджує не нескінченність прямої, а всього лише те, що В«пряму можна безперервно продовжувати". З точки зору античних математиків, вищенаведені еквіваленти постулату про паралельні могли здаватися неприйнятними: вони або посилаються на актуальну нескінченність або (ще не введене) поняття вимірювання, або теж не надто очевидні.
Абсолютна геометрії.
Якщо зі списку аксіом виключити V постулат, то отримана система аксіом буде описувати так звану абсолютну геометрію. Зокрема, перші 28 теорем "Начал" Евкліда доводяться без використання V постулату і тому відносяться до абсолютної геометрії. Для подальшого відзначимо дві теореми абсолютної геометрії:
В§ Паралельні прямі існують; це випливає з теорем 27 і 28 "Начал" Евкліда. p> В§ При продовженні двох прямих від точки їх перетину відстань між ними необмежено зростає.
Спроби докази
Математики з давніх часів намагалися В«покращити ЕвклідаВ» - або виключити п'ятий постулат з числа вихідних тверджень, тобто довести його, спираючись на решта постулати і аксіоми, або замінити його іншим, настільки ж очевидним, як інші постулати. Надію на досяжність цього результату підтримувало те, що IV постулат Евкліда ( всі прямі кути рівні ) дійсно виявився зайвим - він був суворо доведений як теорема і виключений з переліку аксіом. p> За два тисячоліття було запропоновано багато доказів п'ятого постулату, але в кожному з них рано чи пізно виявлявся порочне коло: виявлялося, що серед явних або неявних посилок міститься твердження, яка не вдається довести без використання того ж п'ятого постулату.
В
Прокл (V століття н.е.) в В«Коментарі до I книзі Почав Евкліда В»повідомляє, що такий доказ запропонував Клавдій Птолемей, критикує його доказ і пропонує своє власне. У дещо спрощеному вигляді його можна описати так: нехай пряма b проходить через задану точку A паралельно прямий a ; доведемо, що будь-яка інша пряма c , проведена через ту ж точку, перетинається з прямий a . Як згадувалося вище, відстань між прямими від точки їх перетину зростає необмежено (ще раз підкреслимо, що доказ цієї теореми не спирається на V постулат). Але тоді зрештою відстань між c
