інтеграла дає зазвичай більш ефективно рішення. З'являється можливість оцінити силу, красу, спільність нового математичного апарату.
Методи математичного аналізу використовуються не тільки для вирішення поставлених завдань, але і є джерелом отримання нових фактів елементарної математики.
РОЗДІЛ 1
ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ
1.1. Застосування похідної при рішенні нерівностей
Диференціальне числення широко використовується при дослідженні функцій. За допомогою похідної можна знайти проміжки монотонності функції, її екстремальні точки, найбільші і найменші значення.
Якщо функція f має позитивну (негативну) похідну в кожній точці деякого проміжку, вона зростає (убуває) на цьому проміжку. При знаходженні проміжків монотонності треба мати на увазі, що якщо функція зростає (спадає) на інтервалі ( a, b) і неперервна в точках a і b, вона зростає (убуває) на відрізку [a, b].
Якщо точка x 0 є точкою екстремуму для функції f і в цій точці існує похідна, то f / (x 0 ) = 0. У точці екстремуму функція може не мати похідну. Внутрішні точки області визначення, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними. Щоб встановити, чи має функція в даній критичній точці екстремум, користуються такими достатніми ознаками існування екстремуму.
Якщо функція f неперервна в точці x0 і існують такі точки a, b , що f / (x0)> 0 (F / (x0) <0) на інтервалі ( a, x0) і f / (x0) <0 (f / (x0)> 0) на інтервалі ( x0, b) , то точка x0 є точкою максимуму (Мінімуму) функції f.
Для відшукання найбільших і найменших значень f на відрізку [a, b] достатньо порівняти між собою значення f в точках a, b і в критичних точках з відрізка [a, b].
Ці результати застосовні при вирішенні багатьох елементарних завдань, пов'язаних з нерівностями.
Нехай, наприклад, потрібно довести, що на деякому проміжку має місце нерівність f (x) Ві g (x). Позначимо f (x)-g (x) через F (x). За допомогою похідної F / (x) знаходимо найменше значення F на даному проміжку. Якщо воно неотрицательно, то у всіх точках розглянутого проміжку F (x) Ві 0 , тобто
f (x) Ві g (x).
Завдання 1.1. Довести що (e + x) ex > (ex) e + x для 0
Рішення.
Дане нерівність рівносильно наступного: (ex) ln (e + x)> (e + x) ln (ex).
Нехай f (x) = (ex) ln (e + x) - (e + x) ln (ex),
тоді f / (x) =-ln (e + x) + (ex)/(e +...
